师：同学们，今天我们学习二次函数函数的解析式求法。本节课学习目标有三点：一、知道待定系数法是求函数解析式的通用方法，并会用待定系数法求二次函数的解析式；二、理解二次函数交点式的意义，知道交点式的适用范围；三、会根据具体情况选用适合的形式求二次函数的解析式，并能进行不同形式间的相互转化。学习重点是会根据不同情况选取适合的形式求二次函数的解析式。
首先，请大家回顾一下，我们学习了二次函数解析式的哪些形式？
生：一般式和顶点式。
师：已知直线上的两点是否可求直线的解析式？
生：答案是肯定的，因为两点确定一条直线。
师：那已知直线上的两点，我们可以用什么方法求直线的解析式呢？
生：待定系数法。
师：类似的，要想求二次函数的解析式，我们需要知道哪些条件呢？本节课我们就来学习如何求二次函数的解析式。首先请看例题一：已知二次函数的图像过点A、B、C，求该函数的解析式。由于题目给的是图像上的三点，我们自然而然想到函数解析式的一般式。设(y = ax2 + bx + c)，我们的目标是求函数的解析式，所以需要建立方程求出(a)、(b)、(c)这三个系数。三个系数需要建立三个方程，我们该如何建立方程呢？题目告诉我们函数图像经过点A、B、C，说明这三点的坐标满足函数的解析式，我们将这三点代入函数解析式中，可得到一个关于(a)、(b)、(c)的三元一次方程组。解这个方程组可得到系数(a)、(b)、(c)的值，从而得到函数的解析式为(y = x2 + 3x - 2)。
我们回过头来看一下例题一的解答过程：首先根据题目中给的图像上的任意三点，设函数的一般式，再将这三点的坐标代入解析式中，可求得系数(a)、(b)、(c)的值，从而得到函数的解析式。整个过程我们使用的是待定系数法。接下来是练习时间，请大家按下暂停键完成练习，时间为3 - 5分钟。请大家参考屏幕上的答案进行批改。
接下来请看例题二：已知二次函数的图像经过点((2,1))，且它的顶点坐标为((1,-2))。求该函数的解析式。明显不同于例题一给的是3个点，例题2只给了两个已知点，我们又该如何求它的函数解析式呢？请大家仔细观察这两个已知点，它们是否有什么特征？
生：其中有一个点((1,-2))是顶点。
师：对，根据我们学过的函数解析式的顶点式，我们可设函数的解析式为(y = a(x - 1)2 - 2)。要想求出函数的解析式，我们需要建立一个关于(a)的方程，求出系数(a)。题目告诉我们图像经过点((2,1))，所以我们可以将点((2,1))代入函数的解析式，得到一个关于(a)的一元一次方程，解得(a = 3)，从而得到函数的解析式。这里说明一下最后结果，我们保留顶点式就可以了。
我们回过头来看一下例题2的解答过程，题目告诉我们函数图像的顶点以及另一点，我们设函数解析式的顶点式，再将另一点代入可求出系数(a)，从而得到函数的解析式。例题2使用的还是待定系数法。接下来是练习时间，请大家按下暂停键完成练习二，时间为3 - 5分钟。
同学们，我们分析一下练习2这道题目，它并没有直接告诉我们顶点坐标，但是请大家留意一个条件，当(x = 2)时，函数有最大值。其实本质上就是给了我们顶点坐标为((2,最大值))，有了顶点坐标，那接下来的解答就同例题2，这里不再重复，请大家自行参考答案进行批改。
同学们，二次函数的解析式除了一般式和顶点式，其实还有一个交点式，那交点式的结构又是怎样的呢？在我们介绍交点式之前，请大家先思考几个问题。
问题一：分别求这两个抛物线与(x)轴的交点。要想求抛物线与(x)轴的交点，看图像相当于求当(y = 0)时对应的自变量(x)的值。我们令(y = 0)，可以得到一个关于(x)的一元二次方程，解得(x? = -3)，(x? = 2)，所以第一条抛物线与(x)轴的交点为(( -3,0))、((2,0))。同理，我们可求得第二条抛物线与(x)轴的交点也是(( -3,0))、((2,0))。
那我们发现这两条抛物线与(x)轴的交点相同，这是为什么呢？我们回过头来看一下，求这两条抛物线与(x)轴交点的过程都是令(y = 0)解方程，在我们解方程的过程中发现这两个抛物线的解析式都可以表示成一个系数乘以((x + 3)(x - 2))的结构，我们令(y = 0)，相当于是求((x + 3)(x - 2) = 0)，所以我们得到了相同的交点。
问题二：写出一个图像与(x)轴的交点为(( -1,0))、((4,0))的二次函数。
生：我们不难得到(y = (x + 1)(x - 4))是符合的。
师：在问题一的启发下，我们容易得到(y = 2(x + 1)(x - 4))也是符合的。再比如，(y = - \frac{1}{3}(x + 1)(x - 4))也是符合的。