师：同学们，今天我们一起学习人教版初中数学七年级上册第三章 3.4 实际问题与一元一次方程中的工程问题。这是本节课的学习目标和重点。学习目标一，能分析工程问题中的数量关系，会设未知数、列方程求解，得出实际问题的答案，体会数学建模思想。二，借助列表法理清数量关系，解决实际问题。学习重点是分析工程问题中的数量关系并列出方程。
我们先来复习小学学过的工程问题公式。最常见的是：工作效率×工作时间 = 工作量。由此还可引申出：工作量÷工作时间 = 工作效率，工作量÷工作效率 = 工作时间。在未知总工作量具体数据时，通常把总工作量看作整体“1”。
来看两个问题：一项工程由甲单独做，需 40 天完成，那么甲的工作量看作整体“1”，工作时间是 40 天，工作效率就是$\frac{1}{40}$；若一项工程甲单独做要用 a 小时完成，则甲每小时完成工程的$\frac{1}{a}$，乙单独做要用 b 小时完成，则乙每小时完成工程的$\frac{1}{b}$。如果甲乙合作两小时，根据效率和×合作时间 = 工作量，完成的工作量就是$2×(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ 。
由上面两道题可知：若已知单独完成工作的时间，把工作量看作整体“1”，时间的倒数就是工作效率；若工程为多方合作完成，合作完成的工作效率是各方工作效率之和。
下面请同学们思考：一个人单独做要 40 小时才能完成全部任务，那么一个人一小时可以完成的工作量是$\frac{1}{40}$，这简称为人均效率。那三个人做一小时完成的工作量是$\frac{1}{40}×3$，三个人做 4 小时完成的工作量是$\frac{1}{40}×3×4$。同学们真棒。由此我们归纳得出：人均效率×人数×时间 = 工作量。
下面我们一起来学习例题。一条地下管线由甲工程队单独铺设，需要 12 天完成，由乙工程队单独铺设，需要 24 天完成。如果由这两个工程队从两端同时施工，需要多少天才能完成这条管线的铺设任务？读完题目，我们要根据题意设未知数。用方程解应用题的关键是找到等量关系，这道题没直接给出。根据题意，这项工程只有甲乙两个工程队施工，所以本题等量关系为：甲的工作量 + 乙的工作量 = 总工作量“1”。在这个等量关系中，甲、乙的工作量又包含工作效率和工作时间。为理清这些数量关系，我们可以列个表格分析，大家也可以在作业本上画出来。
我们一起来完成表格填写。刚才分析这道题的数量包含甲乙的工作效率、工作时间和工作量。把工作量看作整体“1”，时间的倒数就是工作效率，所以甲乙的工作效率分别为$\frac{1}{12}$和$\frac{1}{24}$，工作时间都设为 x。根据工作效率×工作时间 = 工作量，甲、乙的工作量分别为$\frac{x}{12}$和$\frac{x}{24}$。结合表格内容和等量关系，我们可得方程为：$\frac{x}{12} + \frac{x}{24} = 1$，解得$x = 8$。检验$x$的值没问题后记得作答。
请同学们思考一下本题还有其他解法吗？也就是还有其他等量关系吗？有同学说，这是一道工程合作问题，等量关系还可以是效率和×合作时间 = 工作量，从而得到方程为：$(\frac{1}{12} + \frac{1}{24})×x = 1$。
现在我们小结刚才解题过程的做法：一、用方程解决实际问题的关键是找到等量关系，可通过列表法理清各数量关系。二、用一元一次方程解应用题的一般步骤为审、设、列、检验、答。
现在请同学们思考例题二。整理一批图书，由一个人做要 40 小时完成。现计划由一部分人先做 4 小时，然后增加两人与他们一起做 8 小时完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？读完题目，根据题意设未知数。为方便理解，我们把先做的工作量记为前一部分工作量，把增加后的工作量记为后一部分工作量。根据题意和常识，本题等量关系为：前一部分工作量 + 后一部分工作量 = 总工作量“1”。
从题目可知这道题涉及的数量比例题一更多，更需要借助表格来理清数量关系。下面请同学们思考如何列表。思考完了吗？我们一起来完成解答。列表关键是设计好表头内容，我们先画个表格，根据题目找出表头内容。由一个人做要 40 小时完成，可得到人均效率。由一部分人和两人可得到人数，由 4 小时和 8 小时可得到时间，在等量关系中涉及到工作量，根据题意分为前一部分工作和后一部分工作。容易得到，人均效率都是$\frac{1}{40}$，人数分别为 x 和$x + 2$，时间分别为 4 和 8。根据人均效率×人数×时间 = 工作量，工作量分别为$\frac{4x}{40}$和$\frac{8(x + 2)}{40}$。结合表格内容和等量关系，可得方程为：$\frac{4x}{40} + \frac{8(x + 2)}{40} = 1$，解得$x = 2$。检验$x$的值没问题后记得作答。
请同学们思考，本题还有其他解法吗？非常棒。本题等量关系还可以理解为 x 人的工作量 + y 人的工作量 = 总工作量“1”，从而得到方程为：$(\frac{4}{40} + \frac{8}{40})×x + \frac{2×8}{40} = 1$。