师：各位同学，大家好！今天我们一起来学习九年级人教版数学第 27 章相似三角形的判定。首先，了解一下本节课的学习目标和学习重点。目标一，理解三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。目标二，理解判定直角三角形相似的特殊方法：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。目标三，会运用三角形相似的判定定理解决简单问题。本节课的学习重点是掌握运用三角形相似的判定定理解决简单问题。
在正式进入新课内容前，请同学们回忆一下，目前为止我们学过哪些可以判断两个三角形相似的方法呢？
生：可以通过相似三角形的定义，即三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似；还可以通过判定一平行法，平行于三角形一边的直线和其他两边或延长线相交所构成的三角形与原三角形相似；通过判定二，三边成比例的两个三角形相似；通过判定三，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
师：非常好。我们都知道全等是相似比为 1 的特殊情形，那判断两个三角形全等的方法有哪些呢？
生：有角边，还有 HL 。
师：类比三角形全等的判定方法，判定两个三角形相似的方法又还有哪些呢？今天这节课，我们一起来学习新的判定方法。说到三角尺，大家一定很熟悉，左图是老师上课用的三角尺，右图是同学们平时在用的三角尺。观察你的直角三角尺与老师的直角三角尺，30 度与 60 度或 45 度与 45 度的三角尺会相似吗？
生：很多同学都认为它们是相似的。
师：那这两个三角形的三个内角的大小又有什么关系呢？
生：可以发现三个内角的大小是对应相等的。
师：那三个内角对应相等的两个三角形一定会相似吗？带着这个问题我们一起来动手探究一下。现在请同学们做三角形 ABC 和三角形 A'B'C'，使得∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，这时∠C 等于∠C'吗？分别度量这两个三角形的边长，计算(\frac{AB}{A'B'})、(\frac{BC}{B'C'})、(\frac{CA}{C'A'}) ，你有什么发现？同学们可以暂停几分钟，动手操作一下。
生：通过动手操作观察度量可以发现，∠C = ∠C' ，(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'})。三个角分别相等，三边成比例，所以三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
师：通过刚才的动手操作，我们可以大胆地进行猜想，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。观察度量也许会存在误差，现在，让我们一起用严谨的数学推理来证明。证明过程首先需要把猜想写成已知条件和求证结论，并画出图形。如图，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，∠A = ∠A'，∠B = ∠B' 。求证三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C' 。如何证明这一结论呢？同学们可以回忆一下前边两节课我们是如何证明得到判定 2 和判定 3 的呢。这里的证明思路和前边两个判定定理的证明方法类似，同学们可以暂停几分钟，试着来完成证明。
生：要证明这一结论，我们可以这样做。在三角形 A'B'C'的边 A'B'上截取 A'D = AB，过点 D 作 DE 平行于 B'C'交 A'C'于点 E 。由平行得∠A'DE = ∠B' ，三角形 A'DE 相似于三角形 A'B'C' 。因为∠B = ∠B' ，等量代换，所以∠A'DE = ∠B ，又因为∠A = ∠A' ，A'D = AB ，所以三角形 A'DE 全等于三角形 ABC ，进而得到三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C' 。
师：总的来说，我们的证明思路就是先做一个三角形与三角形 A'B'C'相似，接着运用相似三角形的性质和已知条件得到所作三角形与三角形 ABC 全等，进而得到这两个三角形是相似的。通过刚才的证明可以发现我们的猜想是正确的。如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这就是相似三角形的判定四。简单来说，也就是两角分别相等的两个三角形相似。用数学几何语言来描述，也就是在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，因为∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，所以三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C' 。
一起来看一下例题，如图，直角三角形 ABC 中∠C = 90°，AB = 10，AC = 8，E 是 AC 上一点，AE = 5，ED 垂直于 AB，垂足为 D ，求 AD 的长。我们一起来分析已知条件。
生：因为 ED 垂直于 AB，所以∠EDA = 90°。又因为∠C = 90°，所以∠EDA = ∠C 。这时候我们已经有一对直角相等了，根据两角分别相等的两个三角形相似，我们只需要再寻找多一对角相等就可以了。在这里∠A 是公共角，所以三角形 AED 相似于三角形 ABC 。接着应用相似三角形的性质，可得(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB})，代入数值可得 AD = 4 。
师：本题主要是先进行了相似三角形的判定，接着运用相似三角形的性质来解决问题，希望同学们能够熟练掌握并运用三角形相似的判定定理来解决问题。
通过刚才的例题，我们可以发现两个直角三角形自带直角相等这一条件。根据判定四，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，那么这两个直角三角形相似；根据判定三，直角充当夹角，如果两个直角三角形满足两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似。除此之外，证明两个直角三角形相似，还有其他方法吗？说到直角三角形，很多同学都想到了 HL 。我们知道两个直角三角形全等可以用 HL 来判定，那么满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？如图，也就是当斜边(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'})的时候，能否得到直角三角形 ABC 相似于直角三角形 A'B'C'呢。我们一起来证明一下，证明过程同样要把猜想写成已知条件和求证结论，并画出图形。如图，在直角三角形 ABC 和直角三角形 A'B'C'中，∠C = 90°，∠C' = 90°，(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}) 。求证直角三角形 ABC 相似于直角三角形 A'B'C' ，同学们能否类似于前边三个判定定理的证明方法来完成这一证明呢？大家可以暂停几分钟，试着来完成证明。
生：相信很多同学已经完成了证明，在这里证明方法并不唯一，我们还可以利用代数计算的方法，通过勾股定理来完成证明。要证两个直角三角形相似，可以设法证三边成比例。如果假设斜边和直角边的比等于 k ，那么只需要证另一组直角边的比也等于 k 就可以了。
设(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k)，则 AB = k 倍的 A'B' 、AC = k 倍的 A'C' 。由勾股定理得，(BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}})，(B'C' = \sqrt{A'B'^{2} - A'C'^{2}}) ，代入计算得(\frac{BC}{B'C'})也等于 k ，三边成比例，所以直角三角形 ABC 相似于直角三角形 A'B'C' 。