师：同学们，大家好。今天我们一起学习习题课，利用旋转解决几何问题。首先明确本节课学习目标：一是利用旋转的性质解决综合几何问题；二是通过归纳解题方法，提高分析解决问题的能力，体会一般与特殊的数学思想。下面通过具体问题回顾旋转的性质。
如图，将三角形ABC旋转得到三角形AB’C’ 。请同学们找出三角形ABC的旋转中心、旋转方向和旋转角。
生：由图可知，三角形ABC绕着点A逆时针方向旋转，对应点到旋转中心所连线段的夹角就是旋转角，所以旋转角有∠BAB’和∠CAC’ 。
师：旋转前后三角形ABC和三角形AB’C’有怎样的关系呢？
生：旋转不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置，旋转前后的图形全等，所以三角形ABC全等于三角形AB’C’ 。
师：此时如果我们连接ABB’能得到什么三角形？为什么？
生：由于对应点到旋转中心的距离相等，可得BA = B’A ，因此三角形ABB’是一个等腰三角形，其中旋转角∠BAB’就是这个三角形的顶角。
师：通过这一问，我们看到对应点与旋转中心所连线段是一对共端点等长度的线段，它是旋转变换中的一个重要基本图形，基于这个图形能得出等腰三角形的结论。
那在什么条件下三角形ABB’能构成更特殊的三角形？
生：已知三角形ABB’是等腰三角形，当旋转角∠BAB’为60度时，三角形ABB’构成等边三角形；当旋转角∠BAB’为90度时，三角形ABB’构成等腰直角三角形。
师：同学们做题时要注意挖掘60度、90度这样的特殊旋转角度，从而得到特殊的等腰三角形，扩大已知条件辅助解题。
通过以上练习，同学们能回忆起旋转变换的性质了吗？
生：旋转变换是一种全等变换，共端点等长度的线段是旋转变换的一个重要基本图形。
师：接下来利用旋转的性质解决一道比较综合的几何问题。
如图，在四边形ABCD中，∠ABC = 60度，∠ADC = 30度，AB = BC 。求证BD2 = AD2 + CD2 。看到这个求证式子，其结构符合勾股定理形式，但图中这三条线段没组成三角形，需要改变它们位置且不改变大小和形状，所以考虑从图形变换角度解决问题。
题目中有AB = BC这一条件，图中它们是一对共端点等长度的线段，通过前面学习知道这是旋转的重要基本图形，因此尝试利用旋转变换解决问题。有了共端点等长度的线段，就可旋转包含它的三角形，达到旋转目标线段的目的。
那旋转哪一个图形呢？图形中既包含共端点等长度的线段，又包含求证中的目标线段的三角形有两个，分别是三角形BCD和三角形ABD 。其中三角形BCD包含的共端点等长度线段是BC，包含的目标线段是DC和DB；三角形ABD包含的共端点等长度线段是BA，包含的目标线段为DA和DB 。
这两个三角形所具有信息一样，任选一个研究，不妨选三角形ABD 。那如何旋转三角形ABD，使三条目标线段集中到同一个三角形中？看到共端点等长度线段，根据AB = BC ，∠ABC = 60度，可知线段AB绕着点B顺时针旋转60度和BC重合，所以将三角形ABD也相应旋转。这时线段AD就转移到了CE的位置，此时连接DE 。根据旋转角为60度，可得等边三角形BDE ，所以DB转移到了DE的位置，三条目标线段组成了一个三角形，只需证明∠DCE = 90度问题就得解。
下面来看具体证明过程。首先将三角形ABD旋转60度，得到三角形BCE 。此时AD旋转到CE的位置，连接DE，可得等边三角形BDE ，BD = DE ，三条目标线段集中到了三角形DCE中。下面求∠DCE = 90度。根据已知条件和四边形内角和为360度，可求出∠A + ∠E为270度，即∠1 + ∠2 = 270度，一个周角为360度，由此可求出∠DCE = 90度。在直角三角形DCE中，由勾股定理可得DE2 = DC2 + CE2 ，等量代换，就能得到求证的等式，即BD2 = DC2 + AD2 。