师：亲爱的同学们，大家好！今天我们一起来学习人教版八年级下册第16章16.3第三课——二次根式的加减（三）。下面来看本节课的学习目标：一是掌握二次根式混合运算的运算法则；二是会运用二次根式混合运算法则进行有关的运算。
前面我们学习了二次根式的乘除和加减，今天来学习二次根式的混合运算。首先看问题一，前三个小题是填空题。
第一题，如图，有一块长方形木板，长是(a + b)，宽是(m)，它的面积怎么表示呢？
第二题，反过来，已知面积是(am + bm)，宽是(m)，那么长是多少呢？
第三题，如果长是(a + b)，宽是(m + n)，面积又该怎么表示？
根据长方形面积公式，我们可以分别列出式子表示结果。
第一题，列式为((a + b)×m)，结果是(am + bm)。
第二题，列出式子((am + bm)÷m)，结果是(a + b)。
第三题，可列出式子((a + b)×(m + n))，结果是(ma + na + mb + nb)。这样就完成了三道填空题。
实际上，这三道小题分别对应多项式乘以单项式、多项式除以单项式以及多项式乘以多项式的运算，也就是上个学期所学的整式的乘除。我们知道整式中的字母表示数，如果把题中的一些字母换成实数，比如最近所学的二次根式，能不能进行类似运算呢？来看第4小题，这是一道解答题。
如图2，如果长是(\sqrt{8} + \sqrt{3})，宽是(\sqrt{6})，那么它的面积是多少？首先根据长方形面积等于长乘以宽，可得面积为((\sqrt{8} + \sqrt{3})×\sqrt{6})。下一步运用分配律得到(\sqrt{8}×\sqrt{6} + \sqrt{3}×\sqrt{6})，这跟刚刚复习的多项式乘以单项式类似。通过运算，结果是(4\sqrt{3} + 3\sqrt{2})，所以长方形面积是(4\sqrt{3} + 3\sqrt{2})。通过这道题发现，像分配率这样的运算率在二次根式的混合运算中仍然适用。
类似的，大家能完成问题2的两个小题吗？
第一题，((4\sqrt{2} - 3\sqrt{6})÷2\sqrt{2})。这道题类比多项式除以单项式的方式得到，第一步是(4\sqrt{2}÷2\sqrt{2} - 3\sqrt{6}÷2\sqrt{2})，运算结果是(2 - \frac{3}{2}\sqrt{3})。
第二题，((\sqrt{2} + 3)×(\sqrt{2} - 5))。这道题类比多项式乘以多项式进行运算，要强调括号里的每一项要乘以另一个括号里的每一项，注意不要漏乘。那么第一步就是((\sqrt{2})2 + 3\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - 15)，通过运算得到结果是(-13 - 2\sqrt{2})。通过这几道题发现，整式的乘除法则在二次根式的混合运算中仍然适用。
下面请同学们思考这个问题，如果把这道题中的(-5)换成其他数值，比如换成(-3)或者( + 3)，除了按照法则进行运算，还有没有其他解法呢？来看问题三。
首先把(-5)换成(-3)，得到((\sqrt{2} + 3)×(\sqrt{2} - 3))。通过观察发现这个算式结构比较特别，联想到平方差公式。把(\sqrt{2})看作(a)，把(3)看作(b)，那么第一步是((\sqrt{2})2 - 32)，也就是(2 - 9)，结果是(-7)。
接下来再把(-5)换成( + 3)，得到((\sqrt{2} + 3)×(\sqrt{2} + 3))，一般写成((\sqrt{2} + 3)2)。同样联想到完全平方公式，第一步就是((\sqrt{2})2 + 2×\sqrt{2}×3 + 32)，经过运算，最后的结果是(11 + 6\sqrt{2})。也就是说，当遇到一些特殊形式的二次根式混合运算题目时，可以借助乘法公式来简化运算。
下面马上来看一下问题4的三个运算是否正确。
第一题，(-\sqrt{2}×(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = -\sqrt{10} + \sqrt{6})，这个做法是错误的。运用分配率，(-\sqrt{2})要乘以(\sqrt{5})，也要乘以(\sqrt{3})，而(-\sqrt{2}×\sqrt{3} = -\sqrt{6})，因此正确结果应该是(-\sqrt{10} - \sqrt{6})。在二次根式的混合运算中，要注意符号问题。
第二题，((\sqrt{5} + 3)×(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})2 + 3×2 = 11)，这个运算也是错误的。前面强调过，遇到这类二次根式混合运算题目时，要注意括号里的每一项要乘以另一个括号的每一项，因此(\sqrt{5})要乘以(\sqrt{5})还要乘以(2)，(3)也是一样。所以正确过程应该是((\sqrt{5})2 + 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 3×2)，最后结果是(11 + 5\sqrt{5})。也就是说，遇到这类二次根式混合运算题目时，要注意避免漏乘。