师：同学们，今天我们一起来学习人教版八年级数学第19章第12课时一次函数的复习。首先，我们来看本节课的学习目标。第一，通过知识回顾，掌握一次函数的定义、图像和性质，会利用函数图像解决实际问题；第二，会求一次函数的解析式，理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程之间的关系。本节课学习重点是掌握一次函数的图像及性质，会求一次函数的解析式。
接下来进入课程。回顾以往，我们学习了一次函数、正比例函数的概念和图像。若两个变量(x)，(y)间的对应关系可以表示成(y = kx + b)（(k)，(b)是常数，(k \neq 0)），那么(y)叫做(x)的一次函数。特别地，当(b = 0)时，形如(y = kx)（(k)是常数，(k \neq 0)）的函数是正比例函数。其图像及性质如下：当(k > 0)且(b > 0)时，图像是一条直线，经过第一、二、三象限；当(k > 0)且(b < 0)时，图像经过第一、三、四象限；当(b = 0)时，图像经过第一、三象限，图像从左往右上升，(y)随(x)的增大而增大。同理，当(k < 0)且(b > 0)时，图像经过第一、二、四象限；当(k < 0)且(b < 0)时，图像经过第二、三、四象限；当(b = 0)时，图像经过第二、四象限，图像从左往右下降，(y)随(x)的增大而减小。
下面我们先做5个小题，回顾学过的知识，为今天的课做好铺垫。
第一题，已知关于(x)的一次函数(y = kx + 4k - 2)（(k \neq 0)）。若其图像经过原点，则(k)是多少呢？若(y)随(x)的增大而减小，则(k)的取值范围又是什么呢？现在分析一下，因为一次函数图像经过原点，所以(4k - 2 = 0)，解得(k = \frac{1}{2})。若(y)随(x)的增大而减小，则(k)的取值范围是(k < 0)。
由这小题我们归纳一下方法，一次函数的(k)值决定直线的方向，如果(k > 0)，直线从左往右上升，(y)随(x)的增大而增大；如果(k < 0)，直线从左往右下降，(y)随(x)的增大而减小。而(b)值决定直线与(y)轴的交点，如果(b > 0)，则与(y)轴交于正半轴；如果(b < 0)，则与(y)轴交于负半轴；当(b = 0)时，一次函数就变成正比例函数，图像过原点。
第二题，已知一次函数(y = mx + n - 3)的图像，如图所示，则(m)、(n)的取值范围是什么？这道题很简单，由图像可知，直线方向向上交(y)轴于正半轴，所以(m > 0)，(n - 3 > 0)，解得(m > 0)，(n > 3)，故选C。
第三题，直线(y = 2x - 1)沿(y)轴平移三个单位，则平移后直线与(y)轴的交点坐标是什么？这道题比前面两道题难一点，请同学们挑战一下自己，在20秒内完成思考。时间到，直线(y = 2x - 1)沿(y)轴平移三个单位，可以向上或向下平移。向上平移得到(y = 2x - 1 + 3 = 2x + 2)；向下平移得到(y = 2x - 1 - 3 = 2x - 4)。则平移后直线与(y)轴的交点坐标为((0, 2))或((0, -4))。现在归纳这类型题目的方法，掌握直线平移后函数解析式的(b)值变化规律，上移加，下移减。
第四题，两个一次函数(y = ax + b)和(y = bx + a)在同一平面直角坐标系中的图像可能是哪一个呢？对于这个选项，先确定一个解析式所对应的图像，根据一次函数图像与系数的关系确定(a)、(b)的符号，然后看另一个函数图像的位置是否正确。现在请大家分别看4个选项的图像做出选择，思考时间为30秒。
时间到，先看选项A，对于(y = ax + b)，当(a > 0)，图像经过第一、三象限，则(b > 0)，此时(y = bx + a)也应经过第一、三象限，所以A选项错误。接着看选项B，当(a > 0)，图像经过第一、三象限，则(b < 0)，(y = bx + a)经过第二、四象限，与(y)轴的交点在(x)轴上方，所以B选项正确。再看选项C，当(a > 0)，图像经过第一、三象限，则(b > 0)，(y = bx + a)也要经过第一、三象限，所以C选项错误。最后看选项D，当(a < 0)，图像经过第二、四象限，若(b > 0)，则(y = bx + a)经过第一、三象限，所以D选项错误。所以正确答案是B。
第五题，如图，已知函数(y = 2x + b)与函数(y = kx - 3)的图像交于点(P)，则不等式(kx - 3 \leq 2x + b)的解集是什么？这道题我们可以观察图像，直线(y = kx - 3)落在直线(y = 2x + b)下方的部分，对应的(x)的取值范围即为所求。
具体解答过程，因为函数(y = 2x + b)与函数(y = kx - 3)的图像交于点(P(4, -6))，所以这个不等式的解集是(x \geq 4)。小结本题，它主要考察了一次函数和一元一次不等式的关系，以及数形结合思想的应用。解决这类问题的关键是仔细观察图像，注意几个关键点，特别是交点、原点等，做到数形结合。
同学们，刚刚我们用了5条小练习热身，接下来共同完成一道非常典型的例题。
例一，如图，已知一次函数(y = kx + b)的图像经过(A(-2, -1))，(B(1, 3))两点，并且交(x)轴于点(C)，交(y)轴于点(D)。第一个问，求该一次函数的解析式；第二个问，求(\triangle AOB)的面积。这道题条件不多，同学们可以结合图像思考怎么做，老师给1分钟大家独立思考。
时间到，现在分析一下，求经过已知两点坐标的直线解析式，一般按待定系数法的步骤求得。又因为点(C)、(D)分别在(x)、(y)轴上，根据它们的坐标特点就可以求出(CO)或者(DO)的长，然后再根据三角形面积公式求出(\triangle AOB)的面积。
解答过程如下，把(A(-2, -1))，(B(1, 3))代入(y = kx + b)得到二元一次方程组(\begin{cases}-2k + b = -1 \ k + b = 3 \end{cases})，解得(k = \frac{4}{3})，(b = \frac{5}{3})。所以一次函数的解析式为(y = \frac{4}{3}x + \frac{5}{3})。
再看第二个问的详细解答过程，把(x = 0)代入(y = \frac{4}{3}x + \frac{5}{3})，得(y = \frac{5}{3})，所以(D)点的坐标为((0, \frac{5}{3}))。所以(\triangle AOB)的面积等于(\triangle AOD)的面积加上(\triangle BOD)的面积，即(\frac{1}{2}×\frac{5}{3}×2 + \frac{1}{2}×\frac{5}{3}×1 = \frac{5}{2})。
这道题考察了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图像上的点的坐标特征及三角形的面积，待定系数法是解这题的关键。相信同学们对例一都掌握得很好了。现在我们来看第二道例题。
例二，已知广州市2021年某企业用水量(x)吨与该月应交的水费(y)元之间的函数关系如图一。第一问，当(x \geq 50)时，求(y)关于(x)的函数关系式；第二问，若某企业2021年10月份的水费为620元，求该企业2021年10月份的用水量。
这道题是根据图像求解析式，解题关键是从图像中找到特殊点的坐标。具体解答过程如下，设(y)关于(x)的函数关系式为(y = kx + b)，把((50, 260))，((80, 440))代入可得(\begin{cases}50k + b = 260 \ 80k + b = 440 \end{cases})，解得(k = 6)，(b = -100)，所以(y)关于(x)的函数关系式是(y = 6x - 100)。由图像可知，当(y = 620)时，(x > 50)，所以(6x - 100 = 620)，解得(x = 120)。该企业2021年10月份的用水量为120吨。
同学们，通过例二的学习，大家能做个小结吗？这道题是用一次函数解决实际问题。做题时首先要理解题意，当自变量在一定范围内有不同的函数关系时，要注意分段讨论。
接下来做一条变式练习巩固一下。小聪和小明沿着一条路同时从学校出发，到图书馆查阅资料。学校与图书馆的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行。当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆，途中折线(O - A - B - C)和线段(OD)分别表示两人离学校的路程(s)与经过的时间(t)之间的函数关系。
第一问，小聪在图书馆查阅资料的时间为多少分钟呢？小聪返回学校的速度为多少千米每分钟呢？回答这个问题，首先要搞清楚图像的意义。从图像中看到，点(A)表示小聪已经到达图书馆，此时他离学校的距离是4千米，时间是第15分钟；到了(B)点，他离学校的距离还是4千米，时间是第30分钟，所以(AB)段的时间就是小聪在图书馆查阅资料的时间，即(30 - 15 = 15)分钟。返回的时间是点(B)到(C)点的时间，即(40 - 30 = 10)分钟，所以小聪返回的速度是(4÷10 = \frac{2}{5})千米每分钟。
第二问，请你求出小明离开学校的路程(s)与经过的时间(t)之间的函数关系式。观察图像，小明的图像是过原点的虚线(OD)，所以可确定(s)与(t)的函数关系式是正比例函数。设所求的函数解析式为(s = kt)（(k \neq 0)），代入(D(45, 4))，得到(4 = 45k)，则(k = \frac{4}{45})，所以(s)与(t)的函数关系式为(s = \frac{4}{45}t)，其中(t \geq 0)，(t \leq 45)。
第三问，求线段(BC)的函数关系式。由图像可知(BC)是一次函数，把(B)、(C)两点代入即可。设线段(BC)的函数关系式为(s = mt + n)。根据题意，得(\begin{cases}30m + n = 4 \ 40m + n = 0 \end{cases})，解得(m = - \frac{2}{5})，(n = 16)，所以线段(BC)的函数关系式为(s = - \frac{2}{5}t + 16)，自变量的取值范围是(30 \leq t \leq 40)。
第四问，当小聪和小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米呢？这是个相遇问题。回到图像，线段(OD)是小明步行的路程与时间的关系，线段(BC)是小聪返回行驶路程与时间的关系，它们图像的交点表示相遇的地方。所以要求它们的交点，求出交点(s)所对应的值就是相遇时他们距离学校的距离。联立第二问和第三问的方程，得到(\begin{cases}s = - \frac{2}{5}t + 16 \ s = \frac{4}{45}t \end{cases})，解得(t = \frac{180}{11})，代入(s = \frac{4}{45}t)，得(s = \frac{16}{11})千米。
下面我们再来完成一道综合练习进行巩固。如图，直线(OC)、(BC)的函数关系式分别为(y = x)和(y = -2x + 6)，动点(P(a, 0))在(OB)上移动，(0 < a < 3)，过点(P)作直线(l)与(x)轴垂直。
第一问，求点(C)的坐标。联立两直线解析式可得(\begin{cases}y = x \ y = -2x + 6 \end{cases})，解得(x = 2)，(y = 2)，所以(C)点的坐标为((2, 2))。
第二问，设(\triangle OBC)中位于直线(l)左侧部分面积为(s)，写出(s)与(a)之间的函数关系式。首先知道(C)点坐标，过(C)作直线(CD)垂直于(x)轴于(D)，则(D)点的坐标为((2, 0))。因为题目说直线(l)左侧部分的面积为(s)，当过点(P)的直线位于(OD)线段上，它是一个三角形的面积；如果过点(P)的直线超过线段(OD)，那么它就是四边形的面积了。所以要分两种情况来求。
第一种情况，当(0 < a \leq 2)时，(P)的坐标是((a, 0))，所以(OP)的长度为(a)，直线(l)与直线(y = x)相交，设交点为(M)，(M)点的坐标为((a, a))，所以(PM)的长度也为(a)。那么左侧部分是等腰直角三角形的面积，所以(s = \frac{1}{2}a^2)。
第二种情况，当(2 < a < 3)时，左侧部分的图形是个四边形。求这个四边形的面积，可以用(\triangle OBC)的面积减去(\triangle PBM)的面积。把(OP = a)，(PB = 3 - a)，(PM = -2a + 6)代入化简后得到(s = -a^2 + 6a - 6)。
第三问，当(a)为何值时，直线平分(\triangle BOC)的面积。由前面可知，(\triangle BOC)的面积等于(\frac{1}{2}×3×2 = 3)，要平分(\triangle BOC)的面积，即直线左侧部分的面积要等于(\frac{3}{2})。由第一种情况可知，(s = \frac{1}{2}a^2 = \frac{3}{2})，解得(a = \sqrt{3})，符合(0 < a < 2)。所以第二种情况不存在平分的情况。
最后总结下本节课的内容。我们学习了一次函数的概念，通过列表、在平面直角坐标系中描点连线画出一次函数的图像，经过分析图像得到一次函数的性质。在性质中，我们通过数形结合的数学思想找出了一次函数与方程组、不等式的关系。同时，我们运用待定系数法确定一次函数的解析式，最后把以上内容整合到一次函数的应用当中。课堂到此结束，谢谢大家。