师：同学们，我们学习过形如根号a（a≥0）的式子，这就是二次根式，它们是非负数的算术平方根，也是实数。那这一类实数之间如何运算呢？今天我们一起来学习人教版八年级下册16章16.2第一课——二次根式的乘法。本节课的学习目标有三个：一是了解二次根式的乘法法则；二是会用二次根式的乘法法则进行简单运算；三是会反用二次根式的乘法法则化简二次根式。
首先，我们看看二次根式之间如何进行乘法运算。请大家用学过的知识算出下面式子的结果。第一小题，根号4乘以根号9。我们知道根号4 = 2，根号9 = 3，2乘以3 = 6。类似地，下面三个小题，我们都可以先算出算术平方根的结果，然后再进行乘法运算。第二小题，3×42 ；第三小题，45×20；第四小题，56×30 。再来看看后面四个式子，我们可以先计算被开方数中的乘法结果，然后再算它们的算术平方根。第五小题，4×9 = 36，36的算术平方根是6。第六小题，9乘以16 = 144，根号144 = 12。第七小题，16乘以25 = 400，400的算术平方根是20。最后，25乘以36 = 900，根号900 = 30。
请同学们分别观察第一小题和第5小题、2与6、3与7、4与8，你们发现了什么规律？很容易观察到，同一个题组当中的两个小题，它们的计算结果是相等的。也就是说，在计算和化简之前的两个式子也是相等的。我们把这个结论写下来。那怎样用字母表示这个规律，得到更一般的情况呢？如果用a表示等号左边的第一个被开方数，用b表示第二个被开方数，那么这个式子的左边就可以写成根号a乘以根号b，右边就可以写成根号下a与b的乘积，也可以简写成这种形式。
这就是今天我们重点要学习的二次根式的乘法法则：根号a乘以根号b，等于根号下a与b的积。注意，被开方数要大于等于0，所以我们约定在本章中，如果没有特殊说明，所有的字母都表示正数。我们一起来看，这个法则等号左边是两个二次根式相乘，结果是等号右边一个新的二次根式，这个二次根式的被开方数是等号左边两个被开方数的乘积。运用这个法则，请大家算一算下面两个简单的计算。第一小题，直接运用法则，根号3乘以根号5等于根号下3乘以5，结果等于根号15。第二小题，同样的，我们可以先把1/3跟27乘起来作为新的被开方数，等于根号9，而根号9 = 3。根据根号9 = 3，我们发现原来有一部分二次根式是可以化简的。那怎样运用学过的知识来化简以下这个二次根式呢？很多同学拿到题目后，首先会把16跟81乘起来，得到1296，然后再计算1296的算术平方根。这需要试算一下，1296在900 - 1600之间，900的算术平方根是30，1600的算术平方根是40，也就是说根号1296应该介于30 - 40之间。经过一番试算，我们可以得到结果是36。有同学发现这个计算量非常大，有没有更简单的做法呢？我们来看。
在计算之前，我们先仔细观察，16是4的平方，81是9的平方。我们可以写成这种形式。那么4的平方乘以9的平方又可以写成是4乘以9的积的平方，这里我们运用了积的乘方公式：a的平方乘以b的平方，等于a与b的积的平方。然后4乘以9的平方再开算术平方，根据二次根式的性质，我们知道它的结果等于4乘以9 = 36。
好，那有没有可以联系今天我们所学的二次根式的乘法法则来进行化简运算的呢？我们来思考一下，根号下16乘以81跟根号下a乘以b的结构非常相像，那我们是不是可以拆分成这样的形式呢？我们知道刚刚所学的乘法法则是，根号下a乘以根号下b，等于根号下a与b的乘积。反过来使用这个乘法法则，我们发现同样可以把一个二次根式拆分成两个二次根式的乘积。那么根号下16乘以81就可以拆分成根号16乘以根号81，而根号16 = 4，根号81 = 9，快速可以得到结果36。对比这三个方法，显然方法三既简便又快捷。
现在我们知道二次根式的乘法法则反过来使用可以化简一个二次根式，那怎样灵活运用这个乘法法则来进行运算呢？我们来看这个新问题，要计算一个长方形的面积，只需要把它的长与宽相乘，也就是根号10乘以2倍根号2。观察这个式子，我们发现它与之前做过的乘法运算稍有不同，第二个乘数根号外面多了一个数字2。根据它的读法，我们知道二倍根号2里面的2与根号2之间应该是乘法关系。既然是乘法关系，我们就可以把它写到整个式子的最前方，这里我们运用了乘法交换律，然后再运用乘法结合律，把根号10与根号2放到一起相乘。那么根号10乘以根号2就是我们刚刚做过练习的形式了，我们可以直接正用二次根式的乘法法则，把10与2相乘，作为新的被开方数，得到2乘以根号20。同学们需要注意，这里20包含了4这一个可以开得尽方的因数，所以需要继续化简，等于2乘以4乘以5的算术平方根。