师：同学们，大家好。今天我们学习数学六年级下册第六单元数学思考例4的内容，请准备好上课所需的学习用品。这是本节课的学习目标，下面开始上课。首先回顾复习过的知识，请看第一题，不测量，你能说出下面哪些角的度数？
生：我知道第二个角的度数，第二个角是平角，它的度数是180度。
生：我知道第四个角的度数，第四个角是直角，它的度数是90度。
师：下面复习第二个知识点，请看题，大家还记得三角形的内角和是多少度吗？
生：三角形的内角和是180度。
师：接着请看第三题，这两条虚线是一组平行线，三角形ABC和三角形BCD的面积相等吗？为什么？大家想到了吗？
生：从图中可以看出BC是三角形ABC和三角形BCD的底，因为平行线之间的距离处处相等，所以这两个三角形的高相等。根据三角形的面积计算公式S = 1/2ah，S三角形ABC = 1/2 × BC × h，S三角形BCD = 1/2 × BC × h，所以S三角形ABC等于S三角形BCD，也就是说同底等高的两个三角形面积相等。
师：今天我们就运用学过的知识来进行一些简单的几何证明。首先来探究一下与角相关的证明，请看例题，如图，两条直线相交于点O。第一个问题，每相邻两个角可以组成一个平角，一共有多少个平角？怎样数才能做到不重复、不遗漏呢？
生：我们可以有序地进行列举，从角一开始，角一和角2组成一个平角，角2和角3组成一个平角，角3和角4组成一个平角，角4和角一也组成一个平角，一共能组成4个平角。
师：第二问，要推出角一等于角3，那么第一题的结论有没有用呢？请同学们先自己尝试推理一下。
（同学们尝试推理后）
师：下面我们一起来推理证明。根据第一题的结论可以得出角一加角2 = 180度，角2加角3 = 180度。根据等式的性质，等式两边同时减去角2，可以得出角1 = 180度 - 角2，角3 = 180度 - 角2，因为180度 - 角2 = 180度 - 角2，所以角一等于角3。除了这个证明方法，还有的同学想到了，根据第一题的结论，可以得到角一加角4 = 180度，角3加角4 = 180度。根据等式的性质，等式两边同时减去角4可以得到角1 = 180度 - 角4，角3 = 180度 - 角4，同样可以证明出角一等于角3。下面我们来练习一题，请看题，如图，把三角形ABC的边BC延长到点D。这里的第二问要说明，角一加角2等于角4，图中还有个角3，这个角3有什么用呢？请同学们先自己尝试推理完成。
（同学们尝试后）
师：好，我们来看第一个问。第一个问比较简单，从图中可以看出，角3和角4拼成的是平角。接着看第二问，根据第一题的结论可以得到角3加角4 = 180度，根据三角形的内角和是180度可以得到角一加角2加角3 = 180度。根据等式的性质可以得到角一加角2 = 180度 - 角3，角4 = 180度 - 角3。因为180度 - 角3 = 180度 - 角3，所以角一加角2等于角4。同学们自己写的过程可能跟老师讲解的步骤有一些不同，只要方法一样都是可以的。
师：通过上面两题的学习，我们发现在推导角之间的关系时，可以借助已知度数的角和等式性质进行推理证明。下面我们来探究一下与面积相关的证明。请看第一个例题，如图，四边形ABCD是一个梯形，你能说明S三角形ABE等于S三角形CDE吗？我们可以计算出这两个三角形的面积吗？
生：显然行不通，图中并没有给出任何数据。
师：怎么办呢？请同学们认真观察，从图中能找出面积相等的三角形吗？
生：三角形ABC和三角形BCD是等底等高的，可以得到S三角形ABC = S三角形BCD。
师：由图可知，S三角形ABE + S三角形BCE = S三角形ABC，S三角形CDE + S三角形BCE = S三角形BCD。根据等式的性质，等式两边同时减去S三角形BCE可以得到S三角形ABE = S三角形ABC - S三角形BCE，S三角形CDE = S三角形BCD - S三角形BCE。因为S三角形ABC - S三角形BCE = S三角形BCD - S三角形BCE，所以S三角形ABE = S三角形CDE，这是方法一。还有其他思路吗？
生：三角形ABD和三角形ACD也是等底等高的，可以得到S三角形ABD = S三角形ACD。由图可知，S三角形ABE + S三角形ADE = S三角形ABD，S三角形CDE + S三角形ADE = S三角形ACD。根据等式的性质，同样可以证明出S三角形ABE = S三角形CDE。
师：无论是哪种方法，我们发现在推导面积之间的关系时，可以通过找到面积相等的三角形进行推理证明。下面来看第二个例题。如图，AC = 2EC，BF = 3FC，你能说明S三角形ABC = 8个S三角形CFE吗？这题不再是证明两个三角形的面积相等，而是要证明两个三角形面积之间的倍数关系。又该从哪着手开始证明呢？请同学们先尝试一下。
（同学们尝试后）
师：好，我们可以按从小到大来考虑图形，首先把条件整理一下。根据BF = 3FC，可以推出BC = 4FC。BC和FC分别是三角形BCE和三角形CFE的底，这两个三角形的高相等，可以得出S三角形BCE = 4个S三角形CFE。根据AC = 2EC，AC和EC分别是三角形ABC和三角形BCE的底，这两个三角形的高相等，可以得出S三角形ABC = 2个S三角形BCE。把S三角形BCE = 4个S三角形CEF代入化简后，可以得到S三角形ABC = 8个S三角形CFE。