师：今天我们来学习人教版八年级下册第20章数据的分析第二节——数据的波动程度的第三课。首先来看学习目标：一是会计算简单数据的平均数和方差；二是了解极差、平均数、标准差这几种描述数据离散程度的统计量。
之前我们学习了描述数据集中趋势的统计量，像平均数、中位数和众数，也学习了描述数据波动程度的统计量——方差。现在一起回顾下怎样计算简单数据的平均数和方差。
甲、乙两台包装机同时包装糖果，从中各抽出10袋，测得它们的实际质量如下（展示表1）。第一问，分别计算两组数据的平均数和方差。第二问，哪台包装机包装的10袋糖果质量比较稳定？这里采用什么调查方式呢？从中各抽出10袋，这说明采用的是抽样调查。在统计中用样本情况估计总体情况，主要基于两点：一是很多情况下，总体包含的个体数往往很多，不可能一一考察；二是有些从总体中抽取个体的实验带有破坏性，抽取的个体不能太多。所以这里采用了用样本估计总体的抽样调查方式。
那如何求平均数呢？比如把甲的所有数据相加，用所得的和除以数据的个数就得到甲的平均数。我们还学过加权平均数，像甲的数据中506出现了两次，508出现了4次，其余数据都只出现一次，那么就用506乘以2，508乘以4，把这两个积与其余数据相加，再用所得的和除以10，就能求出甲的平均数。
如何求方差呢？先求平均数，再求各数据与平均数的差，接着求平方和，最后除以数据的个数就得到方差。
第二问要比较哪台包装机包装的糖果质量比较稳定，其实就是关注哪个统计量呢？方差是描述数据波动程度的统计量，方差越小代表数据波动越小，也就越稳定。
下面我们一起写这题的解答过程。第一问，甲的平均数等于甲所有数据的和除以10，结果是504.8。乙的平均数等于乙所有数据的和除以10，也是504.8。通过计算发现甲和乙的平均数相等。甲的方差等于各数据与平均数的差的平方和再除以10，结果是15.76。同理，乙的方差是5.56。用方差比较两组数据的波动程度时要注意，只有当两组数据的平均数相等或相近时才能用这种方法。因为乙的方差较小，说明乙的波动较小，即乙包装机包装的10袋糖果质量比较稳定。
通过这道题，我们复习巩固了平均数和方差的计算方法，熟悉了方差的统计意义。接着请看例题。在体操比赛中，往往在所有裁判给出的分数中去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分。6个B组裁判员对某一运动员的打分数据为9.4、8.9、8.8、8.9、8.6、8.7。
第一问，如果不去掉最高分和最低分，这组数据的平均数和方差分别是多少？结果保留小数点后两位。求平均数和方差的方法与前面类似，同学们计算时要按题目要求保留小数。把6个分数相加所得的和除以6，算出平均数约等于8.88。然后求出每个分数与平均数8.88的差，接着求这6个差的平方和，最后把平方和除以6，可以算出方差约等于0.06。
第二问，如果去掉一个最高分和一个最低分，平均分和方差又分别是多少？结果保留小数点后两位。这里要注意去掉最高分9.4和最低分8.6，剩下4个分数，数据个数改变了。在第一问基础上，去掉这两个数据，把分母6改为4，就可以算出平均数约等于8.83，方差约等于0.01。
第三问，你认为哪种统计平均分的方法更合理？我们学过数据的集中趋势，知道极端值会影响平均数。对比两种方法，去掉一个最高分与一个最低分进行统计平均数的方法更合理，因为方差更小，减少了数据受极端值的影响。通过这道例题，我们引入了降低受极端值影响的平均分计算方法。
除了方差，还有其他描述数据波动程度的统计量吗？就用例题这组数据来说，一组数据中最大值与最小值的差称为极差，这组数据的极差是9.4 - 8.6 = 0.8。它是最简单、最便于计算的一个量，但它仅仅反映了数据的波动范围，没有提供数据波动的其他信息，而且受极端值影响较大，所以不能很好地反映数据的波动程度。
为了更好地刻画数据的波动程度，可以考虑每个数据与其平均数的距离。自然想到计算每一个数据与其平均数的差的平均数，先分别计算6个分数与平均数8.88的差，再将这6个差相加所得的和除以6，通过计算得出这组数据与平均数的距离为0。但这能说明这组数据很稳定吗？显然不能，因为通过交换律和结合律可以对式子进行变形，所以它也不能反映数据的波动程度。
修正距离缺点的一种做法是考虑每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数，这个统计量称为平均差。也就是说，先分别求出每个分数与平均数8.88的差的绝对值，然后把6个绝对值相加所得的和除以6，可以算出平均差是0.18。那么平均差是否可以反映数据的波动程度呢？我们再以甲乙两组数据来说明，比如甲的数据是9、10、 - 1、 - 9，乙的数据是6、4、0、 - 4、 - 6。显然这两组数据的平均数都为0，通过计算，它们的平均差都是4，那么甲乙两组数据的波动程度一样吗？利用折线图，可以观察到甲组数据比乙组的波动大，因而平均差在实际中应用较少。刚才两组数据利用平均差区别不出它们的波动大小，而甲组数据的方差是32.8，乙组数据的方差是20.8，因此用方差可以区分它们的波动情况。对比前面介绍的几种统计量，可见方差的应用更广泛。