师：同学们好，今天我们一起来学习人教版八年级下册第17章的小结与复习，主要学习勾股定理及其逆定理的应用。上课前，我们先明确学习目标。第一，通过回顾勾股定理及其逆定理，了解它们之间的区别与联系；第二，通过解决具体问题，掌握勾股定理及其逆定理的应用方法。
我们已经学完勾股定理这一章，下面回顾一下知识。直角三角形三边有特殊数量关系，以直角三角形三边为边长在外部构造三个正方形，通过探究面积关系，可得两小正方形面积和等于大正方形面积，即两直角边平方和等于斜边平方，这就是勾股定理。通常我们会研究一个数学结论的逆命题是否成立，把勾股定理的条件和结论互换，得到它的逆命题，通过构造法证明该逆命题成立，于是有了勾股定理的逆定理。
勾股定理及其逆定理从不同角度研究直角三角形，下面看看它们的区别和联系。勾股定理反映直角三角形的性质，描述三边数量关系，是由形到数的过程；勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法，通过计算三边数量关系判断三角形是否为直角三角形，是由数到形的过程，这种数形结合思想在数学解题中经常用到。下面看如何用这两个定理解决具体数学题目。
看这道题，已知直角三角形，∠C = 90°，两直角边分别为3和4，求斜边的长。根据勾股定理，很快算出AB = 5。如果把∠C = 90°这个条件去掉，又怎么求AB的长呢？问题一，去掉该条件意味着直角不确定，斜边也不确定，而用勾股定理计算需知道斜边和直角边，所以接下来要对谁是斜边进行分类讨论。这里有三条边AC、BC和AB，显然AC比BC短，不可能为斜边，那么斜边就是BC和AB这两种情况。
斜边确定后，画出示意图并标上数据。看这两种情况，题目又转化为直角三角形已知两边长求第三边的基本问题。第一个图里，AB = √(AC2 + BC2)，代入数据可得AB = 5，写的时候注意先用字母表达式，再代入数据。后面这种情况，AB是直角边，AB = √(BC2 - AC2)，代入数据可得AB = √7，所以AB = 5或√7。
同学们，如果老师再把直角三角形这个条件去掉，还能求AB吗？问题二，没有直角这个条件，就无法用勾股定理列等式，所以求不出AB。能求出AB的范围吗？根据直角三角形三边大小关系，第三边大于两边之差，小于两边之和，所以AB大于1小于7。同学们不妨思考一下，在AB的这个范围内，AB取何值时，三角形ABC是直角三角形呢？根据刚才的问题一，不难得到AB = 5或√7。如果答案不确定，还可以用勾股定理的逆定理验算，比较两个小边的平方和与大边的平方，如果结果一样，就是直角三角形。
到这里，我们学习的题目都是知道三角形两边，求第三边或第三边范围。老师把条件改一下，改为一个锐角加一个边，怎么求其他边的长度呢？问题三，直角三角形中∠B = 30°，同学们想到什么数学知识？对，直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半。这里30°角所对的边是AC，长度等于4，所以斜边AB = 8。通过这步转化，又变成已知直角三角形两边求第三边的问题了。我们一起写一下过程：
解：在Rt△ABC中，∠B = 30°，可得AB = 2AC = 8，这一步把角的条件转化为边的结论。在直角三角形里求第三边，BC = √(AB2 - AC2)，代入数据可得BC = √48，化简后答案是4√3。这个题能解决的关键在于把角的条件转化为边的结论。
下面再看这道题，求三角形ABC的面积，我们会想到三角形面积公式：底×高÷2。看题目，高AD = 3已知，只需要求出BC边的长度就能求出面积。题目中有个条件AB = AC = BC，三条边相等，说明这是个等边三角形，除了得出等边，还能得出等角，三个内角都等于60°。等边三角形的高线，结合等腰三角形三线合一的性质，可知AD还平分顶角∠BAC和底边BC，所以∠BAD = ∠CAD = 30°。