师：同学们好，今天我们要学习的内容是人教版八年级下册第十八章平行四边形小专题复习三。下面明确一下今天的学习目标：第一，了解两个全等三角形拼平行四边形的方法，体会分类思想；第二，在平行四边形背景下，能用勾股定理建立方程，求线段的长。下面开始学习今天的内容，请看题目一。
如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB = AC，沿着底边上的高AD剪开，我们可以得到两个全等的三角形。这两个全等的三角形怎样才能拼出平行四边形呢？两个全等的三角形有三组对应相等的边，我们把这三组边分别用红、黑、蓝三种颜色标记。
两个三角形拼在一起有很多种拼法，我们可以根据重合的边是否相等进行分类。显然，当两个不相等的边拼在一起时，无法拼出平行四边形。那当两条相等的边拼在一起，又能拼出什么图形呢？两个三角形一共有三组相等的边，我们分三种情况讨论。
拼图时先固定左边的三角形，移动右边的三角形。当两条黑色的边重合时，我们可以拼得一个等腰三角形，把下面这个三角形翻折过来，能得到一个四边形，而且这个四边形的两组对边分别相等，根据平行四边形的判定，它是一个平行四边形。
再来看看，当两条红色的边重合时，我们可以得到一个等腰三角形或平行四边形。
最后把两条蓝色的边重合在一起，得到一个四边形，但它的两组对边不相等，不是平行四边形，而是一个矩形。
我们总结一下拼平行四边形的方法：两个全等的直角三角形，一组对应边重合作为四边形的一条对角线，另外两组对应边分别作为四边形的对边，就可以拼出平行四边形。拼图形只是直观感受，到了初中我们主要研究拼出来新图形的性质和有关计算。在这三个平行四边形里有一个最特殊的矩形，下面请看题目2。
在等腰三角形ABC中，AB = AC = 13，BC = 10，AD是底边BC上的高。根据等腰三角形三线合一的性质，AD也是BC边的中线，所以BD = DC = 5。在直角三角形中，已知两边长，可求第三边，AD = 12。下面求这个矩形的周长和对角线。
图形在拼接过程中，对应边长度和对应角度数保持不变，把数据标到矩形中，可得矩形周长 =（5 + 12）× 2 = 34，矩形两条对角线相等，所以DD′ = 13。矩形是特殊的平行四边形，那其他一般平行四边形又是什么情况呢？下面看题目三。
在等腰三角形ABC中，AB = AC = 13，BC = 10，把数据标到图上，由等腰三角形三线合一性质可得BD = CD = 5。在直角三角形中，根据勾股定理可求得AD = 12。用这两个三角形拼成如图所示的四边形ABDC，拼接时要注意在变化中找不变的量，把数据标到这个四边形，可得AC = BD = 5，AB = CD = 13。因为四边形的两组对边分别相等，根据平行四边形判定，可知这是一个平行四边形。两条对角线AD和BC交于点O，平行四边形对角线互相平分，所以OA = OD = 6，OC = OB。要求线段BC的长，我们会想到直角三角形和勾股定理。图中虽没有以BC为边的直角三角形，但有另外两个三角形OAC和ODB，且这两个直角三角形已知两条直角边的长，我们可以分别求出斜边OC和OB的长度，进而算出BC的长度。
我们不仅要会分析题目，还要懂得用几何语言书写过程。
第一步，在等腰三角形ABC中，因为AD是高，所以BD = CD = 1/2 BC = 1/2 × 10 = 5。
第二步，根据勾股定理，AD = √(AB2 - BD2)，代入数据可得AD = 12。把数据标到四边形中，可判定四边形ABDC是平行四边形。
第一小问解决了，来看第2小问，求BC的长。在平行四边形ABDC中，OA = OD = 1/2 AD = 6。知道两条直角边，可求斜边。在Rt三角形BOD中，OB = √(BD2 + OD2)，代入数据可得OB = √61。这里不用再求OC的值，因为BC = 2OB = 2√61。
刚才我们用间接方法求出了BC的值，能不能构造直角三角形直接求BC的值呢？请看解法二，BC是三角形BDC的一条边，我们通过点C作BD的垂线构造直角三角形。要求BC的值，首先要知道DE和EC的长度，这两条边在四边形ADEC里，看看这个四边形有什么条件。由图形可知这个四边形有三个角是直角，可判定它是矩形，根据矩形对边相等，可求出DE和EC的长度，进而计算BC的长度。