师：同学们，今天我们学习圆的综合习题课，求动点的运动路径长。首先，我们来看看什么是动点问题。动点型问题指图形中存在一个或多个动点，它们在某条线段、射线或弧线上运动，进而引起另一图形的变化。从运动变化的角度研究探索图形性质及变化，解题过程渗透空间观念和合情推理，这是一类开放性题目，对同学们观察能力和创新能力要求较高，题目难度一般较大，是中考试题的热点题型。解决这类问题的关键是动中求静，在变化中找到不变的性质，这也是动态几何数学问题最核心的本质。
师：给大家看几道中考卷中的动点求运动路径长问题，这是2010年广州中考压轴题，这是2018年广州中考压轴题。这节课我们的学习目标是学会分析动点问题，抓住关键点，寻找动中不动的量或关系，即动中求静；通过独立思考，探究动点问题中应用的数学思想；激情投入，培养分析问题和解决问题的能力，树立学习自信。
师：我们先来做三个小题，回顾学过的知识，为今天的课做好铺垫。第一题，答案是120度，用到的知识是同弧所对的圆周角是圆心角的一半。第二题，答案是32度，用到的知识是同弧所对的圆周角相等。第三题，答案是10π，用到的知识是弧长公式。再来四个小题。第一题答案是120度。第二题答案是180度。第三题答案是240度。第四题答案是360度 - 2α。现在大家思考一下，我们知道同一条弧所对的圆周角都是相等的，那如果一条线段所对的角度不变，这样的角有多少个呢？
生：无数个。
师：若把这些角的顶点连接起来，所得到的图形是什么呢？
生：一段圆弧。
师：为什么呢？我们来探究一下。我们知道同弧所对的圆周角相等，那么相等的角顶点是否一定在一段圆弧上呢？我们先来看一个特殊的例子。以AB为直径作圆O，任意选取C、D、E三个点，且点C在圆上，点D在圆内，点E在圆外。因为直径所对的圆周角是90度，所以∠C是90度，那么∠D和∠E有没有可能也是90度呢？
生：不可能。
师：为什么呢？我们可以延长BD到P交圆O于点P，因为同弧所对的圆周角相等，所以∠P = ∠C = 90度。而根据三角形外角的性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，所以三角形的外角大于和它不相邻的内角。这样一来，∠ADB就大于∠P，也就是大于90度了。类似的，令AE与圆O交于点Q，连接BQ，因为同弧所对的圆周角相等，所以∠AQB = ∠C = 90度。而根据三角形外角的性质，∠E就小于∠AQB，也就是小于90度了。
师：当然，90度这个角太特殊了，换成一个普通角，定线定角是否还能确定定弧呢？按照刚刚同样的思路分析一下，我们很容易得到同样的结论。区别只是定角是90度的时候，AB是圆的直径，圆心是AB的中点；定角不是90度的时候，AB是一条普通的弦，圆心不在AB上。
师：那么我们如何确定弧呢？要想确定一段弧，关键是确定圆心和半径。我们以这题为例，点P在线段AB上方，且∠APB = 80度，求点P的运动路径。很明显，现在我们都知道就是一段圆弧，∠APB是圆周角，等于80度，所以对应的圆心角应该是160度，这样我们就好确定圆心和半径了。我们只需要先做线段AB的垂直平分线，再把线段AB绕点A逆时针旋转10度，交刚才的垂直平分线于点O，这个O就是圆心了。为什么呢？道理很简单，因为圆心角是160度，根据三角形的内角和是180度，而三角形OAB又是等腰三角形，所以∠OAB和∠OBA都只能是10度。这样我们就顺利地确定了圆心，连结OA得到半径，现在就可以以O为圆心，以OA的长为半径作出符合要求的弧了。
师：探究一，求点P的运动路径长这类问题的关键是判断点的运动路径是什么。由于∠APB = 90度，我们可以确定点P在以AB为直径的圆弧上运动。求一段弧长需要知道哪些量？
生：圆心角和半径。
师：现在请大家3分钟独立完成探究一。要求如上，点P在以AB为直径的圆弧上运动。由于P在线段AB上方，AB = 2，所以圆心角是180度，半径是1，路径是一个半圆，路径长是π。通过刚刚的探究，大家一起来提炼一下方法，求运动路径问题。首先我们要判断路径是什么，路径是圆弧，特点就是定线段对应定角，然后我们求弧长，需要确定圆心的位置，圆心角的度数，半径的大小。再来看看探究2。点M从点B运动到点C的过程中，点P是如何运动的？如何判断点P的路径。有些同学可能会猜测点P的路径是一段弧，但是为什么是圆弧呢？我们可以大胆猜测，更要小心求证。为什么是圆弧，我们要思考一下在点M运动的过程中，有哪些关系或量是不变的，能否找到定线段和定角，这就是求点P运动的路径长最关键的地方。