师：同学们，今天我们学习九年级人教版数学第 24 章圆的切线长定理。请带着以下三个学习目标进入本节课：一、理解切线长概念，探索并掌握切线长定理；二、经历画图、猜想、证明等数学过程，理解切线长定理；三、会运用切线长定理解决问题。
首先，请同学们作图解答：过圆 O 外一点 P 能够画圆的几条切线呢？
生：通过作图发现过圆外一点 P 可以作圆的两条切线。
师：带着这个图形，我们一起学习切线长的概念。什么是切线长呢？经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间线段的长叫做点到圆的切线长。如图，线段 PA、PB 的长就是点 P 到圆 O 的切线长。注意，切线长是线段的长。学习了切线长的概念，老师想问同学们两个问题。先看问题一，切线与切线长有什么区别呢？请同学们观看下面两个图形。
生：切线是一条与圆相切的直线，不能度量；而切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
师：再来看看问题二，如图，已知圆 O 及圆 O 外一点 P，PA 与圆 O 相切于 A 点，PB 与圆 O 相切于 B 点，你能发现哪些数量关系和位置关系？
生：可能最先想到度量的方法，也可以利用圆的轴对称性沿着 OP 所在的直线折叠。图形折叠后发现线段 PA 和 PB 重合，∠APO 和∠BPO 重合。因此猜想 PA = PB，∠APO = ∠BPO 。
师：这个猜想是否正确呢？你们能证明吗？我们一起来看，连接 OA、OB、OP 。因为 PA、PB 分别与圆 O 相切于 A、B 两点，OA、OB 为半径，根据切线的性质可以得到∠OAP = ∠OBP = 90°。在直角三角形 AOP 和直角三角形 BOP 中，因为半径 OA = 半径 OB，OP 为公共边，根据 HL 就可以得到直角三角形 AOP 与直角三角形 BOP 全等。由全等的性质我们可以得到 PA = PB，∠OPA = ∠OPB 。
师：证明完后，请同学们试试用文字语言来叙述这个结论。这就是我们今天要讲的切线长定理。
生：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。
师：用数学语言表达，就是因为 PA、PB 分别切圆 O 于 A、B 两点，所以 PA = PB，∠APO = ∠BPO 。由此我们发现切线长定理为证明线段相等和角相等提供了一个新的方法。
师：解决完以上两个问题，请同学们再想一想，若连接两切点 AB 交 OP 于点 M，你又有什么新的发现呢？请证明你的猜想。
生：通过度量或折叠等方式，可以发现 OP 垂直平分 AB 。
师：这个猜想是否正确，我们一起来证明一下。因为 PA、PB 是圆 O 的切线，A、B 是切点，根据切线长定理，我们可以得到 PA = PB，∠OPA = ∠OPB，所以三角形 PAB 是等腰三角形，PO 为顶角的平分线。根据等腰三角形三线合一的性质就可以得到 OP 垂直平分 AB 。
师：学习完新知识，我们来小结一下，在解决有关圆的切线长问题时，往往需要构建以下三个基本图形：一、连接圆心和切点，得到直角；二、连接两切点，构建等腰三角形；三、连接圆心和圆外一点，得到角平分线。接下来我们利用今天学习的新知识进行随堂演练。我们先来看看第一道选择题，下列说法正确的是哪个？请同学们认真阅读这四个选项。
生：A 选项不对，应是过圆外一点，总可以作圆的两条切线，而不是任意一点；B 选项也不对，圆的切线长应是圆外一点和切点之间线段的长，而不是切线的长度；D 选项不正确，因为圆的切线长与圆的半径不能确定大小关系。利用排除法可以得到 C 选项是正确的，所以这道题选 C。
师：第 2 题，如图，PA 切圆 O 于点 A，PB 切圆 O 于点 B，OP 交圆 O 于点 C。下列结论中错误的是哪个？请同学们结合图形看看。
生：根据切线长定理，很容易发现 D 选项是错误的。
师：以上两道选择题分别考察了切线长的概念和切线长定理，请同学们看一下。第三题，这是一道填空题，题目给了我们两个条件，第一个条件是 PA，PB 是圆 O 的切线，A、B 是切点；第二个条件∠AOB = 120°，求∠APO 的度数。