师：今天我们来一起学习九年级人教版数学第 26 章反比例函数性质习题课。本节课的学习目标，一是理解反比例函数的概念及 k 的几何意义；二是能够利用反比例函数图像的性质进行大小比较。学习的重点和难点是反比例函数图像和性质的综合应用。我们先来复习一下前面几节课所讲的内容。
通过前面的学习，我们知道形如(y = \frac{k}{x})（(k)为常数且(k \neq 0)）的函数为反比例函数。因为(\frac{1}{x} = x^{-1})，所以反比例函数的解析式还可以写成(y = k \cdot x^{-1})，由此我们可以得出反比例函数自变量(x)的次数为(-1)次。
解析式两边同时乘以(x)，我们可以得到(xy = k)，从而得出结论：反比例函数图像上任一点(P)作坐标轴的垂线，得到矩形的面积为(\vert k \vert)，而三角形(POA)的面积则为(\frac{\vert k \vert}{2})，这就是(k)的几何意义。
接下来看一下反比例函数图像的性质。对于反比例函数(y = \frac{k}{x})来说，当(k > 0)时，函数图像在一、三象限，在每一象限内，(y)随(x)的增大而减小；当(k < 0)时，函数图像在二、四象限，在每一象限内，(y)随(x)的增大而增大。不论(k > 0)还是(k < 0)，函数图像都是关于原点成中心对称的，这就意味着反比例函数图像上任一点关于原点中心对称的点必然也在反比例函数图像上。反比例函数图像与一次函数和二次函数相比，最大的不同在于它的图像是由两条断开的曲线即双曲线所组成的，因而在涉及到反比例函数的问题时，往往需要分类讨论。
接下来，我们进入本节课要研究的第一类问题，反比例函数图像上点的坐标大小比较问题。
第一题，已知点(A)、(B)、(C)在反比例函数(y = -\frac{4}{x})图像上，则下列说法正确的是。由题可知反比例函数的解析式已知，点(A)、(B)、(C)的横坐标也知道，从而我们可以求出它们的纵坐标，自然就能判断出(y_1)、(y_2)、(y_3)的大小，这就是我们说的代入求值法。
将(A)、(B)、(C)横坐标代入解析式(y = -\frac{4}{x})中，我们可以得到(y_1 = -4)，(y_2 = -2)，(y_3 = -\frac{4}{3})。显然(y_1 < y_2 < y_3)，答案选(A)。
我们观察(A)、(B)、(C)三点的坐标，发现它们在同一象限，因而我们可以考虑利用反比例函数的增减性来进行判断。因为(k = -4 < 0)，在同一象限内，(y)随(x)的增大而增大，又因为(3 > 2 > 1 > 0)，所以(y_3 > y_2 > y_1)。
既然反比例函数的图像是已知的，我们可以画出它的图像。在图像上依次标出(A)、(B)、(C)三点，通过图像也不难判断出(y_1)、(y_2)、(y_3)的大小，这就是我们在涉及函数有关的比较大小问题中经常使用的图像法。
第 2 题，已知(A)、(B)、(C)在反比例函数(y = \frac{4}{x})的图像上，则下列说法正确的是。同样，本题反比例函数解析式已知，(A)、(B)、(C)横坐标也知道，因而我们可以用代入求值法。将(A)、(B)、(C)横坐标代入解析式(y = \frac{4}{x})中，我们可以得到(y_1 = -2)，(y_2 = 4)，(y_3 = 2)。显然(y_1 < y_3 < y_2)，因此答案选(C)。
同样，我们也可以用图像法来说明。画出反比例函数(y = \frac{4}{x})的图像，在图像上标出(A)、(B)、(C)位置，由图像也能判断出(y_1)、(y_2)、(y_3)的大小。与上题对比，(A)、(B)、(C)三点并不在同一象限，因而不能直接用反比例函数的增减性来进行判断。
第三题，已知点(A(x_1, y_1))、(B(x_2, y_2))、(C(x_3, y_3))在反比例函数(y = -\frac{4}{x})的图像上，且(x_1 < 0 < x_2 < x_3)，则下列说法正确的是。与上题对比，本题中(A)、(B)、(C)三点坐标未知，并且它们不在同一象限，因而无法直接用代入求值法和利用函数增减性的方法来判断。虽然(A)、(B)、(C)坐标未知，但是因为(x_1 < 0 < x_2 < x_3)，所以(A)、(B)、(C)所处的象限以及它们之间的相对位置仍然是确定的，所以本题仍然可以用图像法来进行求解。
我们首先画出反比例函数(y = -\frac{4}{x})的图像，因为(x_1 < 0 < x_2 < x_3)，在(x)轴上分别画出(x_1)、(x_2)、(x_3)所表示的点，过这三点分别做(x)轴的垂线，反比例函数图像与垂线的交点即为点(A)、(B)、(C)。分别过(A)、(B)、(C)三点做(y)轴的垂线，这样我们就可以大致地画出(y_1)、(y_2)、(y_3)的位置。由图可知，(y_1 > y_3 > y_2)，因而答案选(B)。
第四题，已知点(A)、(B)、(C)在反比例函数(y = \frac{k^2 + 1}{x})的图像上，且(y_1 < y_2 < 0 < y_3)，则下列说法正确的是。与上题对比，反比例函数的解析式未知，但我们知道(k^2 + 1 > 0)，因而我们仍然能画出反比例函数的大致图像。又因为(y_1 < y_2 < 0 < y_3)，所以点(A)、(B)、(C)所处的象限以及它们的相对位置仍然是确定的。由此，我们仍然可以用图像法来说明。
首先，画出反比例函数(y = \frac{k^2 + 1}{x})的图像，因为(k^2 + 1 > 0)，所以函数图像在第一、第三象限。因为(y_1 < y_2 < 0 < y_3)，在(y)轴上依次画出(y_1)、(y_2)、(y_3)所表示的点，分别过这三点做(y)轴的垂线，反比例函数图像与垂线的交点即为点(A)、(B)、(C)。再过(A)、(B)、(C)三点分别作(x)轴的垂线，这样我们就可以得到(x_1)，(x_2)，(x_3)的大致位置。由图像可以知道(x_2 < x_1 < x_3)，因而本题的答案选(D)。
接下来我们小结一下刚刚我们讲的 4 道题。通过刚刚的学习，我们知道对于反比例函数图像上若干点的坐标大小比较问题，常用的方法有三种：代入求值法、利用函数增减性、图像法。如果所给的点的坐标和函数解析式是确定的，那么我们可以考虑代入求值法；如果所给的点都在同一象限，则可以考虑利用函数的增减性来比较大小；只要反比例函数的图像和点所在的象限是确定的，我们就可以考虑用图像法来进行比较大小。
接下来我们进入本节课研究的第二类问题，反比例函数的(k)值。
第一题，若(y)关于(x)的函数解析式为(y = (k + 1)x^{\vert k \vert - 2})（(k)为常数）。第一小题，若该函数为一次函数，求(k)的值；第 2 小题，若该函数为二次函数，求(k)的值；第 3 小题，若该函数为反比例函数，那么(k)的值又是多少呢？
根据函数的相关定义，我们知道一次函数自变量(x)的最高次数为(1)，二次函数自变量的最高次数为(2)，反比例函数自变量的次数为(-1)次。结合本题，我们不难求出(k)的值。
第一小题，因为该函数为一次函数，所以(\vert k \vert - 2 = 1)，且(k + 1 \neq 0)，我们可以得到(k = \pm 3)。
第二小题，因为该函数为二次函数，所以(\vert k \vert - 2 = 2)，且(k + 1 \neq 0)，解得(k = \pm 4)。
第 3 小题，因为该函数为反比例函数，所以(x)的次数为(-1)次，也就是(\vert k \vert - 2 = -1)，且(k + 1 \neq 0)，解得(k = 1)。本题主要考察的是初中所学的一次函数、二次函数、反比例函数的次数问题。
接下来我们重点研究反比例函数(k)的几何意义及其应用。
第 2 题，如图，点(A)在双曲线(y = \frac{2}{x})上，点(B)在双曲线(y = \frac{5}{x})上，点(C)、(D)在(x)轴上。若四边形(ABCD)为矩形，求它的面积。
本题要求矩形的面积，点(A)、(B)在反比例函数图像上，因而我们可以考虑利用反比例函数(k)的几何意义来进行求解。
根据反比例函数(k)的几何意义，反比例函数图像上任意一点作坐标轴的垂线所得到的矩形的面积等于(\vert k \vert)。因而本题中我们可以延长(BA)交(y)轴于点(E)，因为(B)点在反比例函数(y = \frac{5}{x})的图像上，所以矩形(BCOE)的面积等于(5)；同理，我们可以得到矩形(ADOE)的面积为(2)，从而我们可以得到矩形(ABCD)的面积等于矩形(BCOE)的面积减去矩形(ADOE)的面积，也就等于(3)。
本题要求矩形的面积，我们也可以从矩形的面积公式角度出发。矩形的面积等于长乘以宽，我们只要求出矩形的长和宽即可。
所以本题我们可以设点(A)的坐标为((m, n))，因为点(A)在反比例函数(y = \frac{2}{x})的图像上，所以(mn = 2)。又因为(A)、(B)的纵坐标相等，所以我们可以得到(B)的坐标为((\frac{5}{n}, n))，从而我们可以得到(AB)的长度等于(\frac{5}{n} - m)，(BC)长为(n)，这样我们就可以得到矩形(ABCD)的面积等于((\frac{5}{n} - m)n = 5 - mn)，又因为(mn = 2)，从而我们可以得到矩形的面积为(3)。
在上述解法中，我们并没有准确地求出矩形(ABCD)的长和宽，但是通过设反比例函数图像上点的坐标，并结合反比例函数图像上任意点的横坐标和纵坐标的乘积为(k)这个性质，我们仍然能求出矩形的面积，这就是我们在求反比例函数面积有关问题中经常用的坐标法。
第 3 题，如图所示，点(A)为第一象限内一点，过点(A)作(AB)垂直于(x)轴，连接(OA)，(AB)与反比例函数(y = \frac{k}{x})分别交于点(C)、(D)。若点(C)为(OA)的中点，且三角形(AOD)的面积为(4)，求(k)的值。
本题要求的量为(k)，一个未知数只需要一个等式。题目给了数据三角形(AOD)的面积为(4)，因而我们要想办法将三角形(AOD)的面积用(k)来表示。但从图中我们很难发现三角形(AOD)的面积与反比例函数(k)之间的关系，因而我们考虑用坐标法，通过设坐标将三角形(AOD)的底和高分别用坐标来表示。
在这里我们设(C)点的坐标为((m, n))，因为(C)在反比例函数(y = \frac{k}{x})的图像上，所以(mn = k)。因为(C)为(OA)的中点，根据中点坐标公式，我们可以得到点(A)的横坐标为(2m)，点(A)的纵坐标为(2n)。又因为(AB)垂直于(x)轴，所以(A)、(B)、(D)的横坐标相等，且(D)在反比例函数(y = \frac{k}{x})的图像上，从而我们可以得到点(D)的纵坐标为(\frac{n}{2})。这样我们就可以得到(AD)的长等于(\frac{3}{2}n)，从而我们可以求出三角形(AOD)的面积等于(\frac{3}{2}mn)。又因为(mn = k)，从而我们可以得到关于(k)的一个方程，进而可以求出(k = \frac{8}{3})。
回顾一下本题的解法，我们首先通过设(C)、(D)坐标，进而可以将三角形(AOD)的面积用(C)、(D)坐标来表示，再根据(mn = k)，从而我们可以得到关于(k)的方程，进而求出(k)的值。同学们可以思考一下本题为什么会设(C)点的坐标，又有什么好处呢？是否可以设别的坐标？对于这个问题，我们将在答疑课中进行解答。
第 4 题，如图所示，过点(O)的直线与反比例函数(y = \frac{4}{x})交于点(A)、(B)，过(B)点作(BC)垂直于(y)轴，连接(AC)，求三角形(ABC)面积。
要求三角形(ABC)面积，题目中只给出了反比例函数的解析式(y = \frac{4}{x})，我们很难直接发现三角形(ABC)面积与反比例函数(k)之间的关系，因而本题我们仍然考虑用坐标法来进行求解。
设点(A)的坐标为((m, n))，则(mn = 4)。因为(A)、(O)、(B)三点共线，且反比例函数是关于原点中心对称的，因而我们可以说明(A)、(B)也是关于原点中心对称的，从而我们可以得到(B)的坐标为(( - m, - n))。从而我们可以求出(BC)的长为(\vert m \vert)，点(A)到(BC)的距离等于(A)的纵坐标减(B)的纵坐标，即(2n)。这样我们就可以求出三角形(ABC)面积等于(\vert m \vert \cdot 2n \div 2 = mn = 4)。
第 5 题，如图，点(A)、(B)是反比例函数(y = \frac{k}{x})图像上两点，经过(A)、(B)两点分别作(AC)平行于(y)轴，(BC)平行于(x)轴。已知三角形(AOC)的面积为(3)，三角形(ABC)的面积为(9)，求(k)的值。
由题目条件可知，三角形(ABC)为直角三角形，(A)、(C)横坐标相等，(B)、(C)纵坐标相等。因而我们可以设点(C)的坐标为((m, n))。因为(A)、(C)横坐标相等，所以点(A)的横坐标也为(m)，从而我们可以得到点(A)的坐标；同理，我们可以得到点(B)的坐标。进而我们可以求出线段(AC)和线段(BC)的长，这样我们就可以得到三角形(AOC)的面积表达式。根据三角形(ABC)面积为(9)，这样我们就可以得到第二个等式。
比较这两个等式，我们发现它们都有代数式(k - mn)，由第一个等式我们可以得到(k - mn = 6)，并且(mn = k - 6)。将这两个等式代入三角形(ABC)面积等式中，我们可以得到关于(k)的方程，解(k)的方程可以得到(k = 8)。
接下来我们小结一下今天所讲的内容。这节课我们主要复习了反比例函数的解析式以及反比例函数图像的性质。
我们知道反比例函数的解析式有三种形式，由(y = \frac{k}{x})，我们可以知道反比例函数自变量(x)的取值范围为(x \neq 0)；由(y = k \cdot x^{-1})，我们可以得到自变量(x)的次数为(-1)次；由(xy = k)，我们可以得出结论：反比例函数图像上任意一点作坐标轴的垂线所得到的矩形的面积为(\vert k \vert)，这就是(k)的几何意义。在解决涉及反比例函数面积问题的时候，我们可以考虑利用(k)的几何意义来进行求解，如果所给的数据与(k)的关系并不那么显而易见时，我们可以考虑设坐标的方法来求解。
对于函数图像的性质，我们主要从三个角度来说明。第一，反比例函数图像的位置，当(k > 0)时，反比例函数图像在第一、第三象限；当(k < 0)时，反比例函数图像在二、四象限，反比例函数图像的位置与(k)的关系可以从解析式(xy = k)得到，当(k > 0)时，(x)、(y)同号意味着反比例函数图像只能在一、三象限。第二，反比例函数的图像对称性，我们知道反比例函数是关于原点中心对称的。第三，反比例函数图像的增减性，当(k > 0)时，在同一象限，(y)随(x)的增大而减小；当(k < 0)时，在同一象限，反比例函数(y)随(x)的增大而增大。对于不同象限内点的坐标的大小比较问题，我们可以考虑利用图像法来进行解决。
以上就是本节课的全部内容，同学们，再见。