师：同学们大家好，今天我们来进行全等三角形的小专题复习。首先明确学习目标：一是能综合应用等腰直角三角形、全等三角形的性质与判定进行计算和证明；二是能在图形构造过程中感受图形间的变化与联系，体验变中不变的相对关系。今天我们在等腰直角三角形基础上构造新图形。
先看一道有关等腰直角三角形边角关系的题目。如图，在三角形ABC中，∠ACB = 90°，∠B = 45°，AC = 2，求BC的长。这题比较简单，大家一起分析下。因为∠ACB = 90°，∠B = 45°，所以∠A = 90° - ∠B = 45°。又因为∠B = 45°，所以∠A = ∠B，那么三角形ABC是等腰三角形，从而BC = AC = 2。
现在在这个等腰直角三角形基础上添加一些线，看看能构造出什么新图形。看这道题，如图，已知三角形ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，过点C在三角形ABC外部作直线l，分别过点B、A作BE⊥l于E，AD⊥l于D，那么相等的线段有哪些呢？怎么找相等线段呢？通过本单元学习我们知道，全等三角形对应边相等，也就是找到两个全等三角形就能找到相等线段。一起来分析条件，已知AC = BC，又因为BE⊥l，AD⊥l，可得∠ADC = ∠CEB。这组已知对应边和对应角刚好对应三角形CAD与三角形BCE。要证明这两个三角形全等，从条件看很难再找到其他对应边相等，那就考虑找一组对应角相等。
为方便找角，把这几个角分别用∠1、∠2、∠3表示。因为∠ACB = 90°，所以∠2 + ∠3 = 90°，又因为AD⊥l，所以∠1 + ∠2 = 90°。根据等角的余角相等，可得∠1 = ∠3。已经证明∠ADC = ∠CEB = 90°，再加上已知条件AC = BC，利用角角边判定定理就可得到三角形CAD全等于三角形BCE。所以全等三角形对应边AD = CE，CD = BE，这就是找到的相等线段。
同学们再思考，2中的线段DE、BE、AD之间有什么数量关系呢？观察图形可知，DE = CD + CE，又因为已证明CD = BE，CE = AD，通过等量代换可得DE = BE + AD。刚才这道题是在等腰直角三角形基础上，经过直角顶点在三角形外部添加一条直线，并分别过另外两个点作这条直线的垂线段，得到一组三角形全等，还得到一些线段关系。现在改变直线位置，仍经过点C，但让直线经过三角形ABC内部并与AB相交，会构造出什么图形呢？两个三角形还会全等吗？线段DE、BE、AD之间又有什么数量关系呢？
如图，如果把直线l缩成线段CE就变成这样一个图形，这是课本第56页第9题的图形。看这道题，如图∠ACB = 90°，AC = BC，AD⊥CE，BE⊥CE，AD = 2.5厘米，DE = 1.7厘米，求BE的长。同学们，觉得BE的长该怎么求呢？要求一条线段的长，得观察已知线段，考虑BE与AD、DE之间的关系。观察图形发现，BE既不等于AD，也不等于DE，且这三条线段不在同一条直线上，没办法直接求出。这时往往要转化为求与它相等的线段，也就是找到一条线段跟BE相等。前面说过，通过证明全等可得到相等线段。BE是三角形BCE的一条边，只要找到一个三角形跟BCE全等即可。回到前面问题，三角形CAD与三角形BCE会全等吗？如果全等，就能得到BE = CD，至于CD怎么求，从图上看，CD = CE - DE，DE已知，通过前面全等又能得到CE = AD = 2.5，利用等量代换可求出CD的长。
回顾这道题解题思路，要求BE的长，转化成求CD的长，要求出CD的长，必须证明三角形BCE与三角形CAD全等。下面思考怎么证明这两个三角形全等。同学们还记得上一题怎么证明两个三角形全等的吗？其实这道题证明方法跟上一题基本相同。同样把这三个角分别用∠1、∠2、∠3表示。因为∠ACB = 90°，可得∠2 + ∠3 = 90°。又因为AD⊥CE，所以∠1 + ∠2 = 90°，根据等角的余角相等，可得∠3 = ∠1。又因为AD⊥CE，BE⊥CE，可得∠BEC = ∠CDA = 90°。再加上已知条件AC = BC，利用角角边判定方法，就可得到三角形BCE全等于三角形CAD。这里证明了两个三角形全等，前面都是对解题思路的分析，解题过程的规范性也很重要。下面梳理一遍这道题。