师：同学们好，我们一起来明确本节课的学习目标。一是认识勾股定理，了解其文化历史背景；二是经历勾股定理的猜想与发现过程，体会从特殊到一般的探索方法。我们先来复习如何研究一个几何图形，可从角和边两个角度入手。对于直角三角形，我们之前已研究过它角的性质，知道无论直角三角形大小如何变化，它的两个锐角一定互余，在变化中寻找不变规律，这是学习数学的重要方法。今天我们要探索直角三角形三边的数量关系是否也存在不变规律。
500多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的领袖毕达哥拉斯，信奉万物皆数，认为数要么是整数，要么可表示为两个整数的比值。相传他去朋友家做客，从朋友家用砖铺成的地面图案发现了直角三角形三边的数量关系。我们也来观察这个图形，它包含大小不一的正方形、等腰直角三角形、梯形等平面图形，都由最小的等腰直角三角形构成。我们把这个等腰直角三角形标记颜色，设其直角边长为1，那么它的面积就是$\frac{1}{2}$。显然，正方形A和正方形B由两个这样的最小等腰直角三角形组成，面积是1，正方形C由4个组成，面积是2。可以发现正方形A和正方形B的面积之和等于正方形C的面积，这是一个关于面积的等量关系。若正方形C面积为2，其边长就是$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$既不是整数，也不是两个整数的比值，毕达哥拉斯学派的门徒希帕索斯发现这点，引发了第一次数学危机。
讲完小故事，我们回到题目。刚才借助面积法求出了直角边长为1的等腰直角三角形的斜边长。现在给出一个直角三角形，直角边长是3和4，能否用同样方法求出斜边长呢？我们以这个直角三角形三边向外构造三个正方形，标记为A、B、C。从图中可知，确定直角三角形斜边，只需确定以斜边为边长的正方形C的面积。但正方形C摆放不端正，不易求面积，可通过分割或补形，将其转化成像正方形A、B那样端正的图形。
先看补形方法，我们把它补成边长为7的正方形，那么正方形C的面积就可以表示为大正方形面积减去四个全等的直角三角形的面积。大正方形边长是7，四个全等直角三角形两直角边长分别是3和4，经计算可得正方形C面积是25。
再看分割方法，把正方形C分割成一个小正方形和四个全等的直角三角形。小正方形边长是1，四个全等直角三角形两直角边是3和4，同样可算出正方形C面积等于25。
我们又发现一个规律，正方形A面积是16，正方形B面积是9，它们面积之和正好等于正方形C的面积。联系前面地板砖问题，我们大胆猜想：以直角三角形三边为边长向外构造正方形，以直角三角形两直角边为边长的两正方形面积之和，等于以斜边为边长的大正方形的面积。从三角形角度说，就是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。不过这只是猜想，还需严密的逻辑推理论证。
在信息发达的时代，很多同学都知道这个结论，它就是著名的勾股定理。本节课我们不涉及它的证明，明后两天课程会了解。研究一个数学几何定理，要从文字、图形、符号语言三方面加深理解。勾股定理用文字语言表述为：斜边的平方等于两直角边的平方和。结合图形用符号语言表述为：在Rt△ABC中，∠C = 90°，则$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$。