师：同学们，大家好。今天我们复习圆这一单元，先来回顾本节课的学习目标。一是回顾本章知识，形成知识框架，感受数学知识的整体性与结构性；二是能够通过添加辅助线得到特殊的线段、角、三角形或四边形，以及它们与圆的关系，从中找出解决问题的途径。
本节课的学习重点，是能够条理化、系统化复习圆的基础知识，将所学知识结构化，提高分析问题、归纳总结问题的能力。本单元我们学习了圆的有关性质、点直线和圆的位置关系、正多边形和圆、弧长和扇形面积这四部分内容。
圆是生活中常见的图形，也是平面几何中的基本图形。它是特殊的曲线，既是轴对称图形，也是中心对称图形，还具有轴对称性、中心对称性、旋转对称性。结合圆的轴对称性，我们发现了垂径定理及其推论；利用圆的旋转对称性，发现了圆中弧、弦、圆心角之间的关系；通过观察度量，得出同弧上的圆周角和圆心角的关系；利用直观操作，明确了点与圆、直线与圆之间的位置关系。同时，我们也学习了三角形、四边形、正多边形与圆的关系，并且运用圆的周长面积公式推导了弧长和扇形面积公式，还用它们推导出圆锥的侧面积与全面积公式。
在圆的第一部分，根据圆的对称性，我们重点学习了垂径定理及推论。垂径定理：垂直于弦的直径 (CD) 平分弦 (AB)，并且平分弦所对的两条弧，即弧 (AC =) 弧 (BC)，弧 (AD =) 弧 (BD)。垂径定理的推论：平分弦 (AB) 的直径 (CD)（这里要注意被平分的弦 (AB) 不能是直径），能得到平分弦所对的两条弧。同学们复习时要将文字语言与图形语言结合，转换成符号语言。
下面看这道例题，已知 (A)、(B)、(C)、(D) 是圆 (O) 的两条平行弦，大家读到这里能发现隐藏的分类思想吗？如图，第一种情况，平行弦位于圆心的同侧；第二种情况，平行弦位于圆心的异侧。圆 (O) 的半径为 (10) 厘米，(AB = 12) 厘米，(CD = 16) 厘米。题目要求 (A)、(B)、(C)、(D) 间的距离。如图所示，第一种情况是 (OM + ON)，第二种情况是 (OM - ON)。无论哪种情况，我们都需要知道半径 (OA)、(OC) 以及线段 (AM)、(CN) 的长，此时可利用弦长的一半、弦心距、圆的半径构成直角三角形来求解，其中圆的半径、弦心距是解决圆的问题常用的辅助线。
这是本题的解答过程，仅做展示，同学们课后可回看核对作答是否规范。
学习弧、弦、圆心角之间的关系时，我们重点回顾了相关定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。由这个定理，我们又得到两条定理，大家要练习文字、图形、符号三种数学语言之间的转换。学习这三条定理时，我们发现在同圆或等圆中，两条弧一般同为优弧或同为劣弧。而两条弦、两个圆心角只要有一组相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等。同学们想一想，这三条定理中，为什么不能忽略在同圆或等圆的前提条件呢？因为丢掉这个条件，如图，即使圆心角(\angle AOB = \angle COD)，它们所对的弧、弦也不一定相等。
学习同弧上的圆周角和圆心角的关系时，我们重点学习了圆周角定理及推论。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论一：同弧或等弧所对的圆周角相等。推论二：半圆或直径所对的圆周角是直角，(90)度的圆周角所对的弦是直径。
请看例题，如图，圆 (O) 为三角形 (ABC) 的外接圆，(\angle C = 45^{\circ})，(AB = 4)。求圆 (O) 的半径。
方法一：依据圆周角定理，因为要求半径，所以我们连接 (OA)、(OB)，将半径作为辅助线，依据圆周角定理得到圆心角。因为(\angle C = 45^{\circ})，所以(\angle AOB = 90^{\circ})，从而构造等腰直角三角形，根据勾股定理求出半径。
方法二：要求半径，我们可以找到直径，为此连接 (AO) 交圆 (O) 于点 (K)，将直径作为辅助线。根据圆周角定理推论一，因为弧 (AB =) 弧 (AB)，(\angle C = 45^{\circ})，所以(\angle K = \angle C = 45^{\circ})，再根据圆周角定理推论二，因为直径 (AK) 所对的圆周角是 (90^{\circ})，得到(\angle ABK = 90^{\circ})，从而构造等腰直角三角形，也可用勾股定理求出半径。
分析过程中不难发现，本题用半径、直径做辅助线的目的，是将已知量与未知量转化到同一个三角形内，从而构建直角三角形。这是本题的解答过程，只做展示，同学们下课后可以回看核对作答是否规范。
第二部分我们学习了点和圆的位置关系。在平面内，任意一点到圆心的距离记为 (d)，圆的半径记为 (r)。如图，当 (d \lt r) 时，点 (P) 在圆内；当 (d = r) 时，点 (P) 在圆上；当 (d \gt r) 时，点 (P) 在圆外。