师：今天我们来学习人教版九年级数学第22章，函数(y = a(x - h)^2 + k)的图像与性质。本节课学习目标如下：一是会用描点法画出函数图像；二是理解二次函数(y = a(x - h)^2 + k)与(y = ax^2)图像之间的位置关系；三是掌握二次函数(y = a(x - h)^2 + k)的图像性质，这是重点；四是能解决与二次函数相关的实际问题，这是难点。
通过前面的学习，我们知道将函数(y = -\frac{1}{2}x^2)的图像向右平移一个单位，得到(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的图像；向左平移一个单位，得到(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2)的图像；向下平移3个单位，得到(y = -\frac{1}{2}x^2 - 3)的图像；向上平移3个单位，得到(y = -\frac{1}{2}x^2 + 3)的图像。平移函数图像，对应的函数解析式会发生变化，这个变化规律就是“左加右减，上加下减”。注意，这个规律是从顶点在坐标原点的二次函数，比如(y = -\frac{1}{2}x^2)开始的。
如果我们将函数(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)向上平移三个单位，这个规律是否仍然成立呢？也就是说，得到的是不是函数(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + 3)的图像？将(y = -\frac{1}{2}x^2 + 3)的图像向右平移一个单位，(y = -\frac{1}{2}x^2)与(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + 3)的图像之间又有怎样的关系呢？这就是我们这节课要学习的内容。
要研究函数图像之间的位置关系，首先要画出函数图像。在同一坐标系中画出函数(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)与(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + 3)的图像。根据前面知识，可以对称地选取7个点，令(x = -2)、(-1)、(0)、(1)、(2)、(3)、(4)，相应地算出这两个函数的函数值。
利用描点法，不难画出这两个函数的图像，这是(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的图像。同样，也能画出函数(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + 3)的图像。将函数(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的图像向上平移三个单位，会发现它与函数(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + 3)的图像完全重合。这说明函数(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + 3)的图像可以由函数(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的图像向上平移三个单位得到。
实际上，通过表格中的数据也能发现，对于自变量(x)的每一个确定的值，函数(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + 3)的函数值都比函数(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的函数值大(3)。可以理解为函数(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + 3)的图像在函数(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的图像上方三个单位。而函数(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的图像可以由(y = -\frac{1}{2}x^2)的图像向右平移一个单位得到。这就说明函数(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + 3)的图像可以由(y = -\frac{1}{2}x^2)向右平移一个单位，再向上平移3个单位得到。当然，也可以先向上平移3个单位，再向右平移一个单位得到。观察函数(y = -\frac{1}{2}x^2)与(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + 3)的函数解析式，发现它们的(a)值（二次项系数）相同。这说明当二次项系数(a)相同时，函数解析式的变化，对应函数图像的变化可以通过平移来实现。
接下来研究函数(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + 3)的图像性质。研究函数图像性质主要从开口方向、顶点、对称轴、增减性以及最值五个方面来研究。由图像可知，函数开口向下，顶点坐标为((1,3))，对称轴为直线(x = 1)。当(x \lt 1)时，在对称轴左边，(y)随(x)的增大而增大；当(x \gt 1)时，在对称轴右边，(y)随(x)的增大而减小。函数图像开口向下，函数图像有最高点，函数值(y)有最大值，当(x = 1)时，(y)有最大值。类比(y = -\frac{1}{2}x^2)的图像，发现两者有类似地方，比如都是开口向下，都有最大值，在对称轴左边都是递增的，右边都是递减的。这是因为(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + 3)的图像可以由(y = -\frac{1}{2}x^2)的图像通过平移得到。
类比(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + 3)的图像，可以得到函数(y = a(x - h)^2 + k)的图像性质。(y = a(x - h)^2 + k)的图像可以由(y = ax^2)的图像通过平移得到。类比(y = ax^2)的图像可知，当(a \gt 0)时，函数图像开口向上；当(a \lt 0)时，函数图像开口向下。不论(a \gt 0)还是(a \lt 0)，抛物线的顶点坐标都为((h,k))。抛物线的这种解析式能体现抛物线的顶点坐标((h,k))，因此把(y = a(x - h)^2 + k)称为抛物线的顶点式。对称轴是平行于(y)轴并且经过顶点的直线，所以对称轴是直线(x = h)。当(a \gt 0)时，抛物线开口向上，图像有最低点，函数值(y)有最小值(k)；当(a \lt 0)时，函数图像开口向下，图像有最高点，函数值(y)有最大值(k)。当(a \gt 0)时，在对称轴左边，(y)随(x)的增大而减小，即左边是递减的；在对称轴右边，(y)随(x)的增大而增大，即对称轴右边是递增的。同理，当(a \lt 0)时，在对称轴左边是递增的，右边是递减的。
对比函数(y = ax^2)的图像，发现两者顶点、对称轴、最值不同。这是因为函数图像经过平移后，顶点评移到了((h,k))，而对称轴和最值都与顶点有关。