师：同学们，大家好。今天我们一起来学习九年级上册第 24 章第七课切线的判定和性质。首先明确本节课学习目标：一是探索切线与过切点半径的关系，理解切线的判定定理和性质定理；二是会用切线的判定和性质解决与切线相关的问题。
经过上节课的学习，我们知道直线和圆有三种位置关系。可以根据直线和圆公共点的个数判断：当直线和圆没有公共点时，直线和圆相离；当直线和圆有一个公共点时，直线和圆相切；当直线和圆有两个公共点时，直线和圆相交。也可以根据直线到圆心的距离 d 与半径 r 的数量关系判断：当 d 大于 r 时相离，当 d 等于 r 时相切，当 d 小于 r 时相交。
我们把和圆相切的直线叫做切线，到圆心的距离等于半径、和圆有一个公共点，是切线的两个判定方法，同时也是切线的两个基本性质。本节课我们进一步从直线和特定半径的位置关系探究切线的判定定理和性质定理。
首先探究切线的判定定理。思考一，如图，在圆 O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l，垂直 OA，那么圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和圆 O 有什么位置关系？
根据已知条件，直线 l 垂直半径 OA，并且经过点 A。由点到直线距离的定义可知，圆心 O 到直线 l 的距离就等于垂线段 OA 的长度，也就等于半径 r。利用数量关系 d 等于 r，可以知道直线 l 和圆 O 相切。
结合图像，我们可以把直线 l 描述为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线，它是圆的切线，这就是切线的判定定理。用符号语言表示为：因为在圆 O 中，OA 为半径，且 l 垂直 OA 于点 A，所以直线 l 是圆 O 的切线。
有了切线的判定定理，我们就用它来解决两个问题。
问题一，如图中的直线 l 是圆 O 的切线吗？图一中直线 l 不是圆 O 的切线，因为 l 虽然经过半径的外端，但是不垂直于半径；图 2 中直线 l 也不是圆 O 的切线，因为直线 l 虽然垂直于半径，但是不经过半径的外端。
问题二，例一，如图，AB 经过圆 O 上的 C 点，且 OA = OB，CA = CB。求证直线 AB 是圆 O 的切线。
根据已知条件，AB 经过圆 O 上的 C 点，可知直线 AB 经过半径 OC 的外端。由切线的判定定理可知，只需再证明 OC 垂直 AB 即可。
由已知 OA = OB，CA = CB，可知利用等腰三角形三线合一的性质即可证得 OC 垂直 AB。
具体证明过程如下：证明，如图，连接 OC。因为 AB 经过圆 O 上的 C 点，所以 AB 经过半径 OC 的外端点 C。又因为 OA = OB，CA = CB，所以 OC 垂直 AB。所以直线 AB 是圆 O 的切线。
在这个问题中，已知 AB 经过圆上的 C 点，于是连接圆心 O 和 C 得半径 OC，这个 C 点就是 AB 与圆 O 相切的切点。连接圆心和切点得半径是这类问题常做的辅助线。此外，在理解和运用切线的判定定理时，要注意“经过半径的外端”与“垂直于半径”这两个条件缺一不可。
接下来探究切线的性质定理。思考二，将思考一中的问题反过来，如图，如果直线 l 是圆 O 的切线，切点为 A，那么半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢？
通过观察，我们不妨大胆猜想：圆 O 的切线 l 垂直于过切点的半径 OA。那该如何证明这个猜想呢？
如图，已知直线 l 是圆 O 的切线，切点为 A，求证直线 l 垂直 OA。我们发现直接证明这个结论有困难，不妨试试反证法。
反证法通常有三个步骤：第一步，假设原命题的结论不正确；第二步，从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；第三步，由矛盾判断假设不正确，从而得到原命题的结论正确。
根据这个思路，我们首先假设 OA 与直线 l 不垂直，然后过点 O 作 OB 垂直于 l，垂足为 B。因为垂线段最短，所以 OB 小于 OA，即 d 小于 r。所以直线与圆 O 相交，这与已知直线 l 是圆 O 的切线矛盾。所以假设不成立，原命题的结论“直线 l 垂直 OA”成立。
经过证明，“圆的切线垂直于过切点的半径”这一大胆猜想便升级为定理了，这就是切线的性质定理。用符号语言描述为：因为 l 是圆 O 的切线，且 OA 是过切点的半径，所以 l 垂直 OA。切线的性质定理为我们提供了证明两线垂直的新方法，我们来运用一下。