师：同学们好，今天我们一起来学习人教版八年级下册第18章平行四边形小专题复习六。首先明确学习目标：一是综合运用正方形的性质、全等三角形的性质与判定等知识解决问题；二是理解添加辅助线的目的，学会添加适当辅助线构造图形解决问题。学习通常先运用知识解决简单问题，再迁移方法到复杂问题研究中。那我们先从一道简单计算题开始。
如图，四边形ABCD是正方形，AB = 8，点E在边BC上，且BE = 6 ，连接AE 。因为四边形ABCD是正方形，所以三角形ABE是直角三角形，运用勾股定理可求出AE的长为10。这里BE长度给定，点E位置确定，图中所有线段长度都能求出。进一步延伸这个图形，添加新图形。
请看题2，在右边构造一个边长等于6的新正方形，连接EF 。已知BC = AB = 8，BE = 6，可算出EC = 2 ，EN = 8 。同样运用勾股定理求出EF的长度为10 ，A1也等于10 。直觉告诉我们，三角形ABE和三角形ENF可能全等。因为EN = AB = 8 ，BE = FN = 6 ，再加上两个直角，根据边角边可判定这两个三角形全等，所以对应边EF = A1 = 10 。通过这两个三角形全等，还能得到一组角相等，即角1 = 角2 。从图形中发现角2与角3互余，等量代换可得角1与角3互余，也就是AE垂直于EF 。
神奇的是，不仅发现这两条线段相等，还发现它们互相垂直。这里点E位置确定时得出AE与EF垂直且相等的结论，如果点E位置不确定，还会有这样的结论吗？假如题目没告诉两个正方形边长，但给了B1 = CN这个条件，B1与CN同时加上EC，就会有EN = BC = AB ，还有BE = FN ，再加上两个直角，还是根据边角边，同样可得出AE与EF的关系是垂直且相等。也就是说，当点E在BC边上运动时，只要满足B1 = CN ，那么在点E运动过程中，三角形ABE和三角形ENF始终全等，AE = EF ，AE垂直EF始终成立。
下面我们将这道题的条件和结论对调，产生一个新问题。如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上任意一点，过点E作EG垂直于AE ，在射线EG上截取EF = AE ，过点F作FM垂直于CD，垂足为M ，作FN垂直BC交BC的延长线于点N 。求证四边形CNFM是正方形。
要证明一个四边形是正方形，需先证明它是矩形或者菱形，再加上边或角的条件。因为四边形ABCD是正方形，所以角DCN = 90度，再加上两个直角，可得角FMC、角MCN和角CNF都是直角，由此可判定四边形CNFM是矩形。我们只要再证明一组邻边相等，它就是正方形了。观察邻边CN和FN，它们会相等吗？
回到条件，有AE = EF ，线段相等往往能为三角形全等创造条件，那么它们所在的三角形ABE和三角形ENF全等吗？是全等的。由AE垂直于EF可得角1与角3互余，从图中发现角3与角2互余，所以角1 = 角2 。在这两个三角形中，通过角边可判定它们全等，得出对应边相等。其中AB = BC ，BC可看成BE + EC ，EN可看成EC + CN ，在等式两边消去EC ，可得BE = CN ，又因为BE = FN ，等量代换可得CN = FN ，那么矩形CNFM有一组邻边相等，它就是正方形。
进一步连接CF，发现它是正方形ABCD的外角平分线。现在把题3当中的条件和结论重新组合，又会产生新问题。我们先从特殊的点，E是中点开始研究。
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC中点，角AEF = 90度，且EF交正方形外角的平分线CF于点F ，求证AE = EF 。要证明两条线段相等，考虑证明它们所在的三角形全等，可是三角形ABE和三角形ECF明显不全等。这时可考虑添加辅助线构造与其中一个三角形全等的三角形，做辅助线的方法有做垂直、截取、延长等等。
我们先尝试把三角形ABE作为已知构造对象，做FG垂直于BC ，那么角EGF = 角ABE 。从图中还能发现角1 = 角2 ，因为它们都是角3的余角。但这两个三角形中，虽三个角对应相等，却找不到相等的边，暂时无法证明全等。