师：同学们，今天我们学习二次函数与一元二次方程。本节课学习目标是理解二者关系，能相互转换问题，体会并应用数形结合思想解题。学习重点是探索它们之间的关系。之前我们从一次函数角度看一元一次方程，认识了二者联系。从数的方面，当一次函数(y = ax + b)函数值(y)为(0)时，求自变量的值就是求一元一次方程(ax + b = 0)的解；从形的方面，求直线(y = ax + b)与(x)轴公共点的横坐标就是求相应方程的解。
现在我们学习了二次函数(y = ax2 + bx + c)与一元二次方程，它们之间是否存在相应关系呢？看下面问题。
以(40)米/秒的速度将小球沿与地面呈(30)度方向出击，球飞行路线是抛物线，不考虑空气阻力，球飞行高度(h)与飞行时间(t)关系为(h = 20t - 5t2)。思考以下问题：
小球飞行高度能否达到(15)米？若能，需飞行时间是多少？这里(h)代表飞行高度，此实际问题转换成已知函数值等于(15)求自变量的值。将(h = 15)代入函数解析式，得到关于(t)的一元二次方程，解得(t? = 1)，(t? = 3)。所以小球飞行(1)秒或(3)秒时，飞行高度为(15)米。同学们能结合图像说明为什么小球在两个时间达到(15)米高度吗？
生：当(t = 1)秒时，小球达到(15)米，然后继续上升到最大高度，再回落到(15)米，此时对应时间是(3)秒。
师：再看第二问，小球飞行高度能否达到(20)米？若能，需多少飞行时间？这一问与第一问对比，区别是什么？
生：函数值变成(20)了。
师：对，解决方法一样。将(h = 20)代入函数解析式，得到方程(20 = 20t - 5t2)，整理得关于(t)的一元二次方程(t2 - 4t + 4 = 0)，解得(t? = t? = 2)。所以小球飞行(2)秒时，高度为(20)米。同学们结合图像说说为什么只在一个时间小球飞行高度达到(20)米？
生：当(t = 2)时，小球飞行高度达到最大高度(20)米，所以只在一个时间达到。
师：好，再看第三问，小球飞行高度能否达到(20.5)米？若能，需多少飞行时间？同样将(h = 20.5)代入函数解析式，得到(20.5 = 20t - 5t2)，整理得关于(t)的一元二次方程(t2 - 4t + 4.1 = 0)。由于此方程(\Delta\lt0)，方程无解，即小球飞行高度达不到(20.5)米。同学们结合图像说说为什么小球达不到(20.5)米？
生：当小球飞行高度达到(20.5)米时，相应直线(h = 20.5)与抛物线没有公共点。
师：再看第四小问，这一问没直接告诉小球飞行高度，但从飞出和落地可知飞行高度(h = 0)。同样将(h = 0)代入函数解析式，得到相应一元二次方程(0 = 20t - 5t2)，得到(t2 - 4t = 0)，解得(t? = 0)，(t? = 4)。当小球飞行(0)秒和(4)秒时，高度为(0)米，即(0)秒时小球从地面飞出，(4)秒时小球落回地面。同学们结合图像说明小球飞行时间是(4)秒吗？
生：当(h = 0)时，即坐标轴横轴，它与抛物线两个交点是(0)和(4)，(0)秒到(4)秒的时间差就是小球飞出和落地时间。
师：从上面可看出，对于二次函数(h = 20t - 5t2)，已知(h)值求时间(t)，就是把函数值(h)换成常数，求一元二次方程的根。现在学习了二次函数与一元二次方程，同学们发现它们关系密切了吧？例如已知二次函数(y = -x2 + 4x)值为(3)，求自变量的值，可解一元二次方程(-x2 + 4x = 3)，整理为(x2 - 4x + 3 = 0)；反过来，求解方程(x2 - 4x + 3 = 0)，又可看作求二次函数(y = x2 - 4x + 3)与(x)轴公共点的横坐标。
下面利用二次函数深入讨论一元二次方程。看下列二次函数图像，思考问题：二次函数图像与(x)轴有公共点吗？若有，公共点横坐标是什么？当(x)取公共点横坐标时，相应函数值是多少？与之相应一元二次方程根可求得吗？先看(y = x2 + x - 2)，它与(x)轴有两个交点，公共点横坐标是(-2)和(1)。当(x)取(-2)和(1)时，相对应一元二次方程两个根就是(-2)和(1)。这说明当二次函数图像与(x)轴有两个公共点时，相对应一元二次方程有两个不相等实数根。