师：同学们，大家好。今天我们一起学习北师大版八年级下册第一章第四节角平分线的第二课时。首先，回顾上节课学的两个定理。
一、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等，这里的距离是点到线的距离。用符号语言表示为：因为∠1 = ∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足，所以PD = PE 。这个结论常用来证明两条线段相等。
二、角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。用符号语言表示为：PD = PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，所以点P在∠AOB的平分线上，即OP平分∠AOB 。这个结论常用来证明点在直线上或直线经过某一点。
今天，我们依据这两个定理来探究三角形角平分线的其他结论。上节课课后作业第一题，是利用尺规作出三角形的三个内角的平分线。观察这三条角平分线，会发现三角形三个内角的平分线交于一点。有的同学可能会类比三角形三条边的垂直平分线的性质定理，从而有更多发现。在七年级下册“认识三角形”一节中，同学们通过剪三角形纸片，对称折叠发现三条折痕交于一点，由此也发现三角形三个内角的平分线交于一点。下面通过动画演示一下，大家仔细观察锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。可以看到，这三种三角形三个内角的角平分线都交于一点，且交点都在三角形内部。不过，通过观察得到的结论不可靠，所以我们要加以证明。
证明三角形三条角平分线相交于一点，先思考如何证明三条直线交于一点。基本思路是先确定两条直线相交于一点，再证明这个点在第三条直线上。
已知：如图，三角形ABC的角平分线BM、CN相交于点P。
求证：点P在∠BAC的角平分线上。
证明：过点P作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为D、E、F。因为BM是三角形ABC的角平分线，点P在BM上，根据角平分线的性质定理，所以PD = PE。同理可得，PE = PF，通过等量代换，PD = PF，所以点P在∠BAC的平分线上，即三角形ABC三条角平分线相交于点P 。同时，我们发现PD = PF = PE，也就是附带证明了这个交点到三条边的距离相等。
现在比较一下三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理：三边垂直平分线，锐角三角形时交于三角形内一点，钝角三角形交于三角形外一点，直角三角形交于斜边的中点，交点到三角形三个顶点的距离相等；而三条角平分线，无论何种三角形，交点都在三角形内部，交点到三角形三边的距离相等。同学们要认真区分这两个定理。
下面运用今天所学知识解决几个几何计算和证明问题。
例1：如图，在三角形ABC中，AC = BC，∠C = 90°，AD是三角形ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。已知CD = 4厘米，求AC的长。
分析：因为AC = BC，CD = 4且在BC上，求AC长可转化为求BC长，已知CD，求出BD长即可。因为AD是角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，所以DE = CD = 4。又因为AC = BC，∠C = 90°，所以∠B = ∠BAC = 45°，∠EDB与∠B互余，所以∠EDB = 45°，即∠EDB = ∠EBD，根据等角对等边，BE = DE = 4。在直角三角形BED中，由勾股定理可得DB = (4\sqrt{2})。由于AC = BC，BC = CD + DB，所以AC = (4 + 4\sqrt{2})。
例2：求证AB = AC + CD。
分析：因为AD是角平分线，所以∠CAD = ∠EAD，根据等角的余角相等可得∠IDE = ∠IDC，即AD平分∠CDE，由角平分线性质定理可得AC = AE 。AB = AE + BE = AC + CD。课后同学们可参考课本31页完成解题过程。