师：同学们，大家好。很高兴以这样的方式和大家见面，请同学们准备好课本和学习工具。今天我们继续研究正多边形与圆。首先明确本节课的学习目标：一是理解并掌握正多边形的对称性；二是探索正多边形的中心角、半径、边长、边心距之间的关系；三是运用正多边形的性质解决相关计算问题。
通过前两节课的学习，我们认识了正多边形。谁能说说正多边形的定义？
生：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。像等边三角形就是正三角形，正方形就是正四边形，还有正五边形、正六边形等等。
师：非常好。在正多边形的定义中，各边相等与各角相等这两个条件缺一不可。比如菱形各边都相等，矩形各角都相等，但它们都不是正四边形。正多边形与圆关系密切，我们通过等分圆，把圆分成相等的弧，就能做出这个圆的内切或外切正多边形。反过来，任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且这两个圆是同心圆。
我们以正五边形为例回顾正多边形的基本概念。这个公共圆心叫做正多边形的中心，这里的点O就是正五边形ABCDE的中心。外接圆的半径叫做正多边形的半径，正五边形有五条半径。内切圆的半径叫做正多边形的边心距，也就是中心到一边的距离。正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，角AOE就是正五边形的一个中心角。正n边形有n个中心角，每个中心角都相等，计算公式是(360°\div n) 。这节课我们继续关注正多边形的特殊性。
来看问题一，正多边形是轴对称图形吗？如果是，请画出它们的对称轴，看看能发现什么。我们从熟悉的正多边形入手，正三角形是轴对称图形，它的对称轴是各边的中垂线，共有三条。正方形有四条对称轴，两条是对角线所在直线，另外两条是边的中垂线。由此推测，是不是所有正多边形都这样呢？同学们可以在作业单上画一画，想一想这几个正多边形是不是轴对称图形，如果是，它们的对称轴各有几条。
（学生操作实践）
师：大家通过操作，想必有了结论。这四个图形都是轴对称图形，而且边数是几，就能画出几条对称轴。正五边形能画出5条对称轴，正六边形有6条对称轴。以此类推，我们可以得出正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴。观察对称轴分布，会发现所有对称轴都交于一点，这个点就是正多边形的中心。所以，我们得到结论：正多边形都是轴对称图形。
现在观察黑板上的图形，正多边形是不是旋转对称图形呢？如果是，它的旋转角度是多少？旋转中心是什么？
（学生思考回答）
师：相信同学们有了结论，看看和老师的判断是否一致。通过连接所有半径发现，正多边形绕着它的中心点，每旋转一个中心角的大小就能与自身重合，所以正多边形都是旋转对称图形。以正三角形为例，它最小旋转角度是120度，旋转角也可以是240度。正方形最小旋转角是90度，旋转角还可以是180度、270度。以此类推，对于正n边形，它的旋转角就是中心角(\frac{360°}{n})乘以小于n的正整数k，旋转中心就是正多边形的中心。
接下来思考，正多边形是不是中心对称图形？如果是，对称中心是什么？我们先看正三角形，谁来说说？
生：正三角形不是中心对称图形，因为在平面上找不到一个定点，使图形绕该点旋转180度后与初始图形重合。
师：非常好。那正方形呢？
生：正方形是中心对称图形，对称中心是任意两条对称轴的交点。
师：请判断一下这几个正多边形是不是中心对称图形。
（学生判断回答）
师：我们可以得出，正五边形、正七边形不是中心对称图形，正六边形、正八边形是中心对称图形。规律很明显，当n为奇数时，正n边形不是中心对称图形，原因和正三角形一样；当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，对称中心是任意两条对称轴的交点，也就是正多边形的中心。所以，对于正多边形中心对称的讨论要分类，只有正多边形边数为偶数时，它才是中心对称图形。
通过讨论，我们知道正多边形是对称性最强的多边形。仍以正五边形为例，它的五条半径把它分割成五个等腰三角形，每个中心角都是72度，所以这五个等腰三角形全等。我们把其中任意一个等腰三角形称为正五边形的基本图形，为什么呢？对于n边形，连接半径也能分割出这样的等腰三角形。这个等腰三角形的顶角是正多边形的中心角，腰长是正多边形的半径，底边是正多边形的边长，底边上的高是正多边形的边心距。正多边形的这四个量在这个等腰三角形中都有体现，所以把这个等腰三角形称为正多边形的基本图形。怎么解决等腰三角形的这几个量呢？观察发现，边心距把等腰三角形分成两个全等的直角三角形，解这个直角三角形就能解决这些量的计算，进而求出正多边形的周长和面积。
来看例题，求出半径为r的圆内接正三角形的边心距、边长、周长和面积。怎么解决这个问题？
生：第一步找到基本图形，通过连接OB、OC找到基本图形。
师：没错，首先求出正三角形的中心角。利用中心角计算公式可得角BOC等于120度，再作BC边上的高OD，OD的长就是正三角形的边心距。根据等腰三角形三线合一，角BOD是圆心角的一半，为60度。接下来重点关注直角三角形BOD，已知半径OB为r 。在这个直角三角形BOD中，已知一条边和一个锐角60度，利用三角函数可求解其他元素。可以用60度的余弦求出OD，用60度的正弦求出BD。也可以利用30度所对直角边等于斜边的一半，得到OD等于(\frac{1}{2}r)，再用勾股定理求出BD的长度，边长BC是BD的两倍。边长知道后乘以3得到周长，面积怎么计算呢？
生：正三角形ABC中有三个和三角形BOC全等的三角形，求出三角形BOC的面积再乘以3就能得到正三角形的面积。
师：非常好，让我们一起来书写解答过程。连接OB、OC，作BC边上的高OD。因为角BOC等于120度，所以在直角三角形BOD中，角BOD等于60度。利用60度的余弦求出边心距OD等于(\frac{1}{2}r)，用60度的正弦求出BD等于(\frac{\sqrt{3}}{2}r)。所以边长等于BD的两倍，即(\sqrt{3}r)，周长等于边长的3倍，即(3\sqrt{3}r)，面积就是三角形BOC面积的3倍，等于(\frac{3\sqrt{3}}{4}r^{2})。我们发现，抓住基本图形，构造直角三角形，就能解决这类问题。接下来的练习请同学们在作业单上尝试。