师：同学们，大家好！今天我们一起来学习解直角三角形及其应用的第三课时内容。首先，我们回顾一下与本节课有关的知识：解直角三角形时，除直角外还需要哪些条件呢？在直角三角形中，三个内角、三条边共6个元素，除直角外的5个元素，只要知道其中两个元素，且这两个元素中至少已知一条边，就可以求出其余三个未知元素。
好，下面我们来看例题，请同学们仔细审题。热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30度，看这栋楼底部的俯角为60度，热气球与楼的水平距离为120米。这栋楼有多高？（结果取整数）这里有两个新名词：俯角和仰角，我们一起来认识一下。观察物体时，视线和水平线会形成一个锐角，当视线在水平线上方时，这个角叫做仰角；当视线在水平线下方时，则叫做俯角。
学习了俯角、仰角的定义后，我们可以将上面的例题转化为这样一道数学问题：在三角形ABC中，∠α = 30度，∠β = 60度，AD垂直BC，AD = 120米，求BC的长。观察图形，能否通过BC所在的三角形ABC直接求出其长度呢？
生：不能。
师：那如何转化BC呢？
生：BC = BD + CD，所以要求BC，只需求出BD和CD的长。
师：非常好，那BD、CD分别和哪些已知量有关？请同学们按下暂停键思考一下。
本题中AD垂直BC，我们容易找到α和β分别所在的直角三角形ABD和直角三角形ADC。而BD所在的直角三角形ABD中，已知∠α = 30度，AD = 120米，通过正切可以找出AD和BD之间的数量关系，从而求出BD。同理，CD所在的直角三角形ADC中，∠β = 60度，AD = 120米，通过正切又能得出AD和CD之间的数量关系，进而求出CD，这样本题就迎刃而解了。下面我们看具体解答过程。
解：由题意得，∠α = 30度，∠β = 60度，AD = 120米。因为在Rt三角形ADB中，tan∠α = BD / AD，所以BD = tan∠α × AD = 120 × tan30度 = 120 × √3 / 3 = 40√3米。因为在Rt三角形ADC中，tan∠β = CD / AD，所以CD = AD × tan∠β = 120 × tan60度 = 120√3米。所以BC = BD + CD = 40√3 + 120√3 = 160√3米。因为结果要取整数，√3 ≈ 1.732，所以BC ≈ 277米。这栋楼高约277米。
把刚刚的例题改变一下，得到这样一道变式题。如图，热气球在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，测得A处的俯角为37度，测得B处的俯角为45度。求热气球的高度（结果取整数）。请同学们按下暂停键，观察一下图中有没有哪条线段的长度能代表热气球的高度呢？
生：显然没有。
师：那如何解决？
生：过点P做PO垂直AB交AB延长线于点O，OP的长即为热气球的高度。
师：很好，通过两直线平行内错角相等，将已知的两个俯角分别转化为∠PAO = 37度，∠PBO = 45度。从图中发现PO为直角三角形POB和直角三角形POA的公共边。但在这两个直角三角形中，我们都只能找到一个已知角，缺少解直角三角形的一个条件，不能直接求出PO。那怎么解决呢？
生：可以通过已知角的正切得到PO与OB、PO与OA的数量关系。因为PO为公共边，所以用方程思想设PO的长为x，这样就可以表示出OA、OB的长。
师：非常棒，那列方程时需要的等量关系在哪呢？
生：因为AB = 400米，且AB = OA - OB，通过这个等量关系就可以列方程了。
师：请看具体解答过程。解：作PO垂直AB交AB的延长线于点O。设PO = x米。在直角三角形POB中，∠PBO = 45度，所以OB = PO = x米，所以OA = x + 400米。在Rt三角形POA中，∠PAB = 37度。由tan∠PAB = PO / OA得OP = OA × tan∠PAB = OA × tan37度。其中tan37度取0.75，所以OP = 0.75(x + 400)，得到方程x = 0.75(x + 400)，解得x = 1200，故飞机的高度为1200米。当然，这道题我们也可以选择设其他长度为x。请同学们课后可以尝试一下。
回顾前面例题和变式的图形，我们发现这两个图形都有两个直角三角形，并且都有一条公共的直角边。我们把这种图形称之为有公共边的双直角三角形模型。一是两个直角三角形分别在公共边的两侧，模型二则为同侧。解决这种模型，我们一般通过已知的公共边，利用三角函数求出其他边；或者当公共边未知时设为x，再寻求线段间的等量关系，建立方程求解。同学们，在数学学习中，我们要注意一些数学模型的应用，这样在解题过程中我们就能快速地获得清晰的解题思路。
好，下面我们来看例2。某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造，如图，是风景秀美的观景山。从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道。为方便游客登顶观景，欲从山腰D到山顶A修建电动扶梯。经测量山高AC = 154米，步行道BD = 168米，∠DBC = 30度，在山腰D处测得山顶A的仰角为45度。求电动扶梯AD的长度（结果保留根号）。图中很容易找到∠ADF和AD所在的等腰直角三角形ADF。
那如何找到BD和∠DBC所在的直角三角形呢？
生：显然没有。