师：同学们大家好，前面我们学习了平行四边形，知道两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的定义既体现了它的性质，也可作为它的判定。平行四边形还有对边相等、对角线互相平分的性质。上节课，我们从平行四边形性质的逆命题得到猜想，经过逻辑推理，证出了平行四边形的三个判定定理。它们分别是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。加上定义，我们就有了四种判定平行四边形的方法。
接下来，请同学们在下列题目中再添上一个条件，使结论成立。
第一题，已知AB平行于CD，再添上什么条件，可以证明四边形ABCD是平行四边形？
生：AD平行于BC。根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证明。
师：第二题，已知AB = CD，再添上什么条件呢？
生：AD = BC。根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证明四边形ABCD是平行四边形。
师：我们知道两组对边分别平行或两组对边分别相等的四边形是平行四边形。如果只考虑四边形的一组对边，当它满足什么条件时，这个四边形是平行四边形呢？首先从尽可能少的条件来探究，一组对边平行的四边形是平行四边形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例说明。
生：不难画出这样的四边形ABCD，满足AD平行于BC，但它不是平行四边形。
师：那满足一组对边相等，这样的四边形是平行四边形吗？
生：也可以画出这样的四边形ABCD，AD = BC，但它也不是平行四边形。
师：我们知道如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等。反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？鉴于没有找到反例，我们猜想一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。这个猜想正确吗？如何证明它呢？我们画出图形，改写已知以及求证。如图，在四边形ABCD中，AD = BC，AD平行于BC。求证：四边形ABCD是平行四边形。如何证明四边形ABCD是平行四边形呢？在已知中有AD = BC，如果我们能证出AB = CD，就能证明四边形ABCD是平行四边形。你能证出AB = CD吗？
生：我们可以连接AC，将平行四边形的问题转化成三角形的问题。因为AD平行于BC，所以∠1 = ∠2。又因为AD = BC，AC = CA，所以△ACD ≌ △CAB，所以AB = CD，所以四边形ABCD是平行四边形。
师：你还有其他证法吗？再看已知里有AD平行于BC，你可以用平行四边形的定义来证明它吗？
生：回到刚才的证明过程，证明了△ACD和△CAB全等，我们还可以得出∠3 = ∠4，进而推出AB平行于CD。又因为AD也平行于BC，所以四边形ABCD是平行四边形。
师：你还有其他证法吗？回到这一题的证明过程，我们既证出了∠1 = ∠2，也证出了∠3 = ∠4，那么∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4，也就是说∠BAD = ∠BCD。在全等里，我们还能证出∠B = ∠D。那能不能用两组对角分别相等的四边形是平行四边形来证明四边形ABCD是平行四边形呢？
生：可以。
师：到这里我们用了三种判定方法来证明。还剩下一种判定方法，对角线互相平分的四边形是平行四边形，也可以用来证明吗？
生：因为从对角线的角度来证明，我们需要连接AC和BD交于点O。因为AD平行于BC，所以∠1 = ∠2，∠3 = ∠4。又因为AD = CB，所以△AOD ≌ △COB，所以OA = OC，OD = OB，所以四边形ABCD是平行四边形。
师：我们用平行四边形的定义和前面学习过的三个判定定理都能证明这个猜想是正确的。因此，这个命题也是我们平行四边形的一个判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。我们也可以把它用符号语言来表示。如图，因为AD平行于BC，AD = BC，所以四边形ABCD是平行四边形。探究到这里，我就想，如果一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
生：我们可以画出如图中的四边形ABCD，AD平行于BC，且AB = CD，它是我们熟悉的等腰梯形，它不是平行四边形。因此，一组对边平行，而另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。
师：探究到这里，我们可以归纳一下，到目前为止，我们有了哪些判定平行四边形的方法呢？从边的角度来看，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，这也是平行四边形的定义；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；我们刚刚探究出的一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。从角的角度来看，两组对角分别相等的四边形是平行四边形。从对角线的角度来看，对角线互相平分的四边形是平行四边形。我们已经有了5种判定平行四边形的方法。下面我们就用它来解决一个实际问题。为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了，你能说出其中的道理吗？
生：首先枕木是平行的，而且夹在铁轨之间的枕木长相等，因此夹在铁轨之间的枕木既平行又相等。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知由枕木和铁轨构成的四边形是平行四边形。而平行四边形的对边平行，所以两条铁轨平行。