师：同学们好，欢迎再次走入今天的数学课堂。今天我们要学习人教A版选修2 - 2第一章导数及其应用的第六节微积分基本定理第二课时。首先，回顾上一节课学过的微积分基本定理。如果(F(x))是区间([a,b])上的什么函数？
生：是连续函数。
师：并且(F(x))的导数等于什么呢？
生：等于(f(x))。
师：那么(f(x))在区间([a,b])上的定积分等于什么呢？
生：(F(b) - F(a))。
师：在这个定理中，它解决了定积分计算的问题，通过该定理能极大简化定积分的计算。这个定理还可以用符号表示，函数(f(x))在([a,b])上的定积分等于(F(x))在([a,b])上函数的增量，即(F(b) - F(a))，这是上节课学的内容。在前面定积分的概念中，我们还探讨了定积分的几何意义，大家还记得吗？
生：如果函数(f(x))在区间([a,b])上连续且恒有(f(x)\geq0)，那么(f(x))在区间([a,b])上的定积分表示由直线(x = a)，(x = b)，(y = 0)以及曲线(y = f(x))所围成的曲边梯形的面积。
师：非常好，我们将在此基础上进一步探讨新内容。首先看这样一个例题，计算下列定积分：第一个，(\int_{0}^{\pi}\sin xdx)；第二个，(\int_{\pi}^{2\pi}\sin xdx)；第三个，(\int_{0}^{2\pi}\sin xdx)。计算完结果后思考能发现什么结论，能否利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。我们先计算第一个定积分，大家还记得怎么计算吗？
生：根据微积分基本定理求定积分，关键是求出它的一个原函数。
师：哪个函数的导函数是(\sin x)呢？利用已学过的导数公式能找到这个函数吗？
生：(-\cos x)的导函数是(\sin x)。
师：所以(\int_{0}^{\pi}\sin xdx)，就是函数(-\cos x)在([0,\pi])上函数值的增量。代入可得，(-\cos\pi - (-\cos0))。(\cos\pi = -1)，(\cos0 = 1)，所以这个结果就是(1 - (-1) = 2)。这个计算结果能否用曲边梯形的面积表示呢？看函数(y = \sin x)的图像，在([0,\pi])这个范围内，曲边梯形位于(x)轴上方。当曲边梯形在(x)轴上方时，定积分结果取正值，且等于该曲边梯形的面积。这是第一个定积分的情况。第二个定积分呢，由于被积函数都是(\sin x)，原函数都可取为(-\cos x)。所以(\int_{\pi}^{2\pi}\sin xdx)可转化为函数(-\cos x)在([\pi,2\pi])上函数值的增量，即(-\cos2\pi - (-\cos\pi))。已知(\cos2\pi = 1)，(\cos\pi = -1)，代入化简可得结果为(-2)。这个定积分的值是负数，结合正弦函数在([\pi,2\pi])的图形，此时曲边梯形位于(x)轴下方，定积分的值取负值，且等于曲边梯形面积的相反数。同样的道理，计算第三个定积分(\int_{0}^{2\pi}\sin xdx)，它等于(-\cos x)在([0,2\pi])上函数值的增量，代入数据计算结果为(0)。观察曲边梯形，发现在(x)轴上方的面积和在(x)轴下方的面积相等，此时定积分的值等于(0)，且等于位于(x)轴上方的曲边梯形面积减去位于(x)轴下方曲边梯形的面积。
由此可见，在(f(x))并不完全大于等于(0)的情况下，依然能找到定积分与曲边梯形面积间的联系。推广一下，设曲边梯形在(x)轴上方的面积为(S_{上})，(x)轴下方的面积记为(S_{下})。当曲边梯形在(x)轴上方时，看第一幅图，此时(\int_{a}^{b}f(x)dx = S_{上})；当曲边梯形位于(x)轴下方时，看第二幅图，此时(\int_{a}^{b}f(x)dx = -S_{下})；当曲边梯形的面积在(x)轴上方、下方都存在时，看第三幅图，在区间([a,b])上的定积分可利用积分区间的可加性分成两个积分相加。第一段位于(x)轴下方，定积分等于(-S_{下})，第二段位于(x)轴上方，定积分等于(S_{上})，所以这种情况下(\int_{a}^{b}f(x)dx = S_{上} - S_{下})。特别地，如果(S_{上})和(S_{下})相等，定积分结果等于(0)。这样就对定积分的几何意义进行了新的探讨。同学们，能用这里探讨的结果解决这个问题吗？如图，(\int_{a}^{b}f(x)dx)的值如果用阴影部分面积怎么表示？这里阴影部分有三块，面积分别为(S_{1})、(S_{2})和(S_{3})。
生：根据前面分析，在区间([a,b])上的定积分可分成三个部分，在(x)轴上方取面积，在下方取面积的相反数，所以(\int_{a}^{b}f(x)dx = S_{1} - S_{2} + S_{3})。
师：很好，把这个过程推广后，可得到定积分的几何意义，即它表示介于(x)轴、曲线(y = f(x))以及直线(x = a)，(x = b)之间各部分曲边面积的代数和。当曲边梯形在(x)轴上方取面积，在下方取其相反数。
现在，我们能否用学到的知识探究这两个等式的成立性呢？用定积分的几何意义说明下列等式。第一个等式，左边被积函数是(\cos\theta)，积分区间是([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}])，积分变量是(\theta)；右边是定积分的两倍，被积函数也是(\cos\theta)，积分区间是([0,\frac{\pi}{2}])。怎么说明这个等式成立呢？
生：借助曲边梯形的面积以及函数的对称性分析。
师：对，做出(y = \cos x)在([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}])的图像。从图中看到，面积可分成两部分，根据(\cos x)的对称性，两部分面积相同。紫色区域对应的面积可用定积分表示为(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta d\theta)。左边等式表示的是整个曲边梯形的面积，右边是其中一半面积的(2)倍，从图形上可直观发现二者相等。再看第二个等式，左边定积分，被积函数是(\sin x)，积分区间是([-\pi,\pi])。同样说明这个定积分的值等于(0)。做出(y = \sin x)在([-\pi,\pi])的图形，观察它与(x)轴以及直线(x = -\pi)，(x = \pi)所围成的曲边梯形，可发现它分为两部分，借助正弦函数关于原点对称的对称性，这两部分面积相同。左边曲边梯形位于(x)轴下方，右边位于(x)轴上方，所以整个定积分等于(\int_{-\pi}^{0}\sin xdx + \int_{0}^{\pi}\sin xdx)，这两个面积相等，符号相反，结果显然等于(0)。这样从形的角度对定积分有了进一步理解和认识。这里涉及的两个被积函数，一个是偶函数，一个是定义域上的奇函数。把这个结论推广一下，同学们思考：若(f(x))在区间([-a,a])上是偶函数，那么(\int_{-a}^{a}f(x)dx)与(\int_{0}^{a}f(x)dx)存在怎样的关系呢？如果(f(x))是([-a,a])上的奇函数，(\int_{-a}^{a}f(x)dx)又等于多少呢？