师：亲爱的同学们，大家好。今天我主讲的内容是初中数学北师大版九年级下册第三章“圆周角和圆心角的关系”第一课时。同学们，准备好了吗？请跟着老师的节奏，一起在知识的海洋中遨游吧。
首先，我们来了解本节课的学习目标：一是理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理；二是理解圆周角与圆心角的关系，并能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题；三是了解并会推理验证圆周角与圆心角的关系，这也是本节课的重点和难点。
了解完学习目标，我们一起思考一个实际问题。在射门过程中，球员射中球门的难易与他所处位置对球门 AE 的张角（如∠ABE）有关，张角越大，射门几率越高。大家认为球员在 B 点、C 点、D 点哪个位置射门几率较大呢？学完本节课，这个问题就能迎刃而解。
在学习新知识之前，请同学们回顾一下之前讲过的圆心角的概念。什么叫圆心角？指出图中的圆心角。
生：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB。
师：下面我们要学习一个和圆心角相似却又有区别的角。观察图中的三个张角∠ABE、∠ACE 和∠ADE，它们的顶点各在圆的什么位置？两边和圆是什么关系？和圆心角又有什么区别？
生：通过观察发现，这三个角的顶点都在圆上，角的两边分别与圆交于另一个点。它们和圆心角的区别在于，圆心角顶点在圆心，而这三个角顶点在圆上。
师：非常好，那么我们可以类比圆心角的概念，给这样的角下一个定义。像∠ABC、∠ADC、∠AEC，顶点都在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，这样的角叫做圆周角。在定义里要注意两点：一是顶点在圆上，二是两边分别与圆还有另一个交点，这两个条件必须同时具备，缺一不可。接下来我们做一道题目，检测大家是否真正掌握了圆周角的定义。
下列各图中的∠BAC 是否为圆周角，并简述理由。
生：第一小题，∠BAC 是圆周角，它符合圆周角定义，顶点在圆上，角的两边分别与圆还有另一个交点。
生：第二小题，∠BAC 不是圆周角，因为它的顶点不在圆上，不符合圆周角定义。
生：第 3 小题，∠BAC 不是圆周角，因为这个角的两边只有一条边与圆有交点，不符合圆周角定义。
生：第四小题，∠BAC 不是圆周角，因为这个角的顶点不在圆上，而是在圆外，所以不符合圆周角定义。
师：通过这道题目的练习，相信大家对圆周角的定义掌握得更牢固了。下面我们一起学习下一个知识点。如图，∠BOC = 80°，请大家画出弧 BC 所对的圆周角，看看这几个圆周角的大小有什么关系？与同伴交流一下。请同学们拿出圆规、量角器等数学工具，根据课件要求动手操作。同学们，画好了吗？下面请看老师画的。由图可知，弧 BC 所对的圆周角，由于顶点位置不同，所对圆周角也不同，因为顶点可以在圆上任意位置，所以弧 BC 所对圆周角有无数个。这里老师在图上只画出弧 BC 所对的部分圆周角。这些圆周角的大小关系可以通过量角器度量显示，它们大小相等。那这些圆周角与圆心角∠BOC 的大小有什么关系？大家是怎样发现的？与同伴交流，类比第一小问找出圆周角大小关系的方法。
生：圆心角∠BOC 的度数也可以通过量角器度量，度量结果显示，这些圆周角的度数等于圆心角∠BOC 度数的一半。
师：在图中改变∠BOC 的度数，得到的结论还成立吗？
生：成立。
师：这就需要我们多画几组这样的图形，通过量角器度量，结果会和得出的结论一样，感兴趣的同学可以课下尝试操作。那么根据以上动手操作的结论，我们大胆猜想：一是圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；二是同弧所对的圆周角度数相等。但猜想不具有严谨性，数学是一门极具严谨性的学科，所以猜想需要通过逻辑推理来证明。下面我们先来证明第一个猜想是正确的。已知∠C 是弧 AB 所对的圆周角，∠AOB 是弧 AB 所对的圆心角，求证∠C = 1/2∠AOB。在证明之前，我们思考一个问题，圆周角和圆心的位置关系有几种？
生：圆心是一个点，圆周角是一个平面图形。点与图形的位置关系有三种，第一种点在图形的边上，第二种点在图形的内部，第三种点在图形的外部。因此圆周角和圆心也存在三种位置关系：第一种圆心在圆周角的边上；第二种圆心在圆周角的内部；第三种圆心在圆周角的外部。
师：非常好，根据圆周角和圆心角的位置关系，我们分三种情况讨论∠C = 1/2∠AOB。第一种情况，圆心 O 在∠C 的一条边上，如图一；第二种情况，圆心 O 在∠C 内部，如图 2；第三种情况，圆心 O 在∠C 外部，如图 3。
下面我们先来证明第一种情况，当圆心 O 在圆周角∠C 的一条边 CB 上时，∠C = 1/2∠AOB。观察图形会发现 OA = OC，所以∠A = ∠C。而∠AOB 是△ACO 的一个外角。根据外角的性质，我们可以得到圆周角∠C 与圆心角∠AOB 的关系。接下来我们看具体的证明过程。
证明：因为∠AOB 是△ACO 的外角，所以∠AOB = ∠C + ∠A。因为 OA = OC，所以∠A = ∠C，所以∠AOB = 2∠C，即∠C = 1/2∠AOB。
下面我们来证明第二种情况，当圆心 O 在圆周角∠C 内部时，∠C = 1/2∠AOB。请同学们思考，我们是否可以把这种情况转化成第一种情况来证明呢？
生：可以，通过添加辅助线直径 CD 来实现这一转化。
师：具体的证明过程如下：证明，过点 C 作直径 CD。由一可得∠ACD = 1/2∠AOD，∠BCD = 1/2∠BOD，所以∠ACB = ∠ACD + ∠BCD = 1/2∠AOD + 1/2∠BOD = 1/2∠AOB。
最后我们来证明第三种情况，当圆心 O 在圆周角∠C 外部时，∠C = 1/2∠AOB。同学们，这种情况能不能像第二种情况那样转化成第一种情况来证明呢？
生：可以，像第二种情况那样通过作辅助线直径 CD 实现这一转化。
师：具体的证明过程如下：过点 C 作直径 CD。由一可得∠ACD = 1/2∠AOD，∠BCD = 1/2∠BOD。因为∠ACB = ∠ACD - ∠BCD，所以∠ACB = 1/2∠AOD - 1/2∠BOD = 1/2∠AOB。
以上三种情况的证明验证了我们的猜想一是正确的，即圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。我们给这个结论命名为圆周角定理。接下来让我们通过习题加深对定理的理解。
如图，△ABC 是圆 O 的内接三角形。若∠B = 70°，则∠AOC 的度数等于多少度？
生：由图可知弧 AC 所对的圆周角为∠B，弧 AC 所对的圆心角为∠AOC。根据圆周角定理，可得∠AOC = 2∠B = 140°，所以答案选择 A 选项。
师：接下来我们看第二道题目。如图，AB 是圆 O 的直径，C、D、E 是圆 O 上的点，则∠1 + ∠2 等于多少度？
生：由图可知，弧 AC、弧 BC 所对的圆周角分别为∠1 和∠2，它们所对的圆心角未知。因此需要添加辅助线构造，连接 OC，弧 AC、弧 BC 所对的圆心角就出来了，分别为∠AOC 和∠BOC。根据圆周角定理，可得∠1 = 1/2∠AOC，∠2 = 1/2∠BOC。∠1 + ∠2 = 1/2∠AOC + 1/2∠BOC = 1/2∠AOB。因为∠AOB = 180°，所以∠1 + ∠2 = 90°，所以答案选择 A 选项。