师：各位同学大家好，不知道大家有没有听过这样一个故事？一位中国老太太和一位美国老太太在黄泉路上相遇。美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款。而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足。
这个故事告诉我们，每个人的消费观念是不同的。随着现代经济社会的发展，“花明天的钱，圆今天的梦”已不再陌生，许多年轻人过起了名副其实的“富翁”生活，贷款、购物、分期付款已深入到我们的生活中。在当前的市场环境中，分期付款也被很多商家看作是抢占市场份额的有效手段。为迎合消费者的心理，商家各尽所能。但是，面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？这节课，我将和大家一起来探讨数列在日常经济生活当中的应用——分期付款问题。
我们一起来看这样一个实例：小华是高一学生，由于假期学习需要，今年春节他家里准备购买一台5000元的电脑，并采用分期付款方式，准备在一年内将款全部付清。据了解，苏宁电器网上商城允许采用分期付款方式进行购物，但在一年内需将款全部付清。该店提供了如下几种付款方案以供选择。同学们思考一下，如果你是顾客，你会选择哪一种方案呢？你选择的依据又是什么？
对于这几种方案，顾客想从中选择，需要知道每期付款多少、总共分期付款多少、与一次性付款的差额是多少，这样才能便于比较。为了解决这个问题，我们先来看一下分期付款的有关规定：
第一，分期付款分若干次付款，每次付款额相同，各次付款的时间间隔相同。
第二，分期付款中双方的每月（或年）利息均按复利计算，即上月（或年）的利息要计入本金。比如月利率为0.8%，款额为a元。按照我们上节课所学的复利计算方法，过一个月，这a元就会增值为a×1.008元；再过一个月，又会增值为a×1.008²元；以此类推，经过n个月就会增值为1.008ⁿ×a元。
第三，各期所付的款额连乘到最后一次付款时所产生的利息和，等于商品售价从购买到最后一次付款时的利息和。这在市场经济中是相对公平的。
我们以上例中的方案2来进行探究：每期应付款多少？总共应付款多少？我们如何去解决这个实际问题呢？我们想建立一个数学等式来求出每期应付款。那么，建立等式的依据是什么呢？请同学们思考一下。
生：（思考）
师：实际上，我们可以按照分期付款的相关规定来处理。我们采用第一种方法：各期所付的款额连乘到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价从购买到最后一次付款时的利息之和。我们把这句话分成两部分来考虑。
首先，看第一步：在商品购买一年后货款全部付清时，其商品售价增值到了多少？根据前面的复习，分期付款问题是一个复利问题。我们可以把这句话理解成：把5000元钱存到银行，经过12个月之后，它的本利和是多少？这样计算起来就比较简单。
具体过程如下：由于月利率为0.008，在购买商品后一个月，该商品售价增值为5000×1.008元。利息按复利计算，在商品购买后两个月，商品售价增值为5000×1.008²。以此类推，在商品购买后12个月（即货款全部付清时），商品售价增值为5000×1.008¹²。
那么，货款全部付清时，各期所付款额的增值情况如何呢？我们借助图示法来帮助理解。
假定每期付款x元。我们可以把它想象成每一期到银行存款x元。我们先从第六期考虑：在第六期存款x元，存款结束时，这x元在银行里的存期为0，所以利息为0，本利和就是x元。
第五期存款x元，在银行里存了2个月，本利和应为1.008²×x元。
第四期存款x元，存了4个月，本利和应为1.008⁴×x元。
第三期存款x元，存了6个月，本利和应为1.008⁶×x元。
第二期存款x元，存了8个月，本利和应为1.008⁸×x元。
第一期存款x元，存了10个月，本利和应为1.008¹⁰×x元。
也就是说，每一期存款x元，到付款结束时都要按照复利计算。具体分析如下：
第六期付款x元后已全部还清，故此期付款没有利息，本金额为x元。
第五期付款x元后，此款只有2个月的利息，到款全部付清时，本利和为1.008²×x元。
类似地，第四期、第三期、第二期、第一期所付款额到货款全部付清时的本利和依次为1.008⁴×x、1.008⁶×x、1.008⁸×x、1.008¹⁰×x。
这样，我们就找到了每一期付款x到期时的本利和。六期总共所付款的本利和为：
x + 1.008²x + 1.008⁴x + 1.008⁶x + 1.008⁸x + 1.008¹⁰x
提取公因式x，得到：
x(1 + 1.008² + 1.008⁴ + 1.008⁶ + 1.008⁸ + 1.008¹⁰)
按照分期付款的原则，各期所付款额连乘到最后一次付款时所产生的利息和，等于商品售价从购买到最后一次付款的利息和。即：
x(1 + 1.008² + 1.008⁴ + 1.008⁶ + 1.008⁸ + 1.008¹⁰) = 5000 × 1.008¹²
我们得到了一个数学等式。根据这个等式求出x的值，就求出了每期的付款数。这样，我们就完成了从实际问题到数学问题的转化。怎么解决这个数学问题呢？请同学们思考一下。
生：（观察思考）
师：我们可以看到括号里面是一组数据求和。按照前面学习的知识，对这样一组数据求和，可以参考数列的知识处理。我们把这组数拿出来观察：1, 1.008², 1.008⁴, 1.008⁶, 1.008⁸, 1.008¹⁰。请同学们观察一下，这组数有什么特点？
生：从第二项起，后一项和前一项的比总等于同一个常数。
师：对！这样的数列我们称之为等比数列。所以，这组数构成了首项为1、公比为1.008²、项数为6的等比数列。括号里面的数据求和就变成了等比数列求和。根据等比数列求和公式，可以得到：
1 + 1.008² + 1.008⁴ + … + 1.008¹⁰ = (1 - (1.008²)⁶) / (1 - 1.008²)
代入等式：
x × (1 - 1.008¹²) / (1 - 1.008²) = 5000 × 1.008¹²
化简变形，可以求得x的值。利用计算器求解，可以得到x ≈ 880.8。每次所付款额为880.8元，因此6次所付款额总共为5285元，比一次性付款多付了285元。