师：同学们大家好，很高兴和大家一起继续探究相似三角形的判定。今天我们要学习相似三角形判定的第三课时。截止目前，关于相似三角形的判定，我们已经学习了预备定理以及两角相等判定两个三角形相似的判定定理。
师：上节课留下的思考题，同学们思考了吗？上一节课我们提到全等是相似的特殊情况，那相似的判定和全等三角形的判定有何联系呢？首先我们来回顾一下全等三角形的判定方法，有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；两角及其夹边相等的两个三角形全等（ASA）；两角及其中一边对角相等的两个三角形全等（AAS）；三边分别相等的两个三角形全等（SSS）。
师：以 ASA 为例，在△ABC 和△A'B'C'中，若∠B = ∠B'，BC = B'C'，∠C = ∠C'，可判定△ABC ≌△A'B'C'。若∠B = ∠B'，∠C = ∠C'，则△ABC ∽△A'B'C'。
师：全等与相似的判定区别在哪？联系又是什么呢？我们知道全等是相似比为 1 的相似，所以 BC / B'C' = 1，也就是 BC = B'C'，这就是全等中 BC = B'C'这个条件的由来。而相似只要求形状相同即可，对应边的比为相似比 k，不要求 BC = B'C'，所以相等的关系也就不需要了。此时我们只需要两个角相等，就可以确定三角形的形状相同，进而得到△ABC ∽△A'B'C'。所以证明全等时，ASA 和 AAS 在证明相似的时候就统一成了两角相等，这也就是我们相似的判定定理一。对比发现，从全等到相似，相似比从 1 变成了 k，线段的相等关系变成了线段对应成比例的关系。
师：那么类比全等三角形判定的方法 SAS，我们可以猜想判定两个三角形相似的方法还能有什么呢？容易想到，如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两边对应成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似。由全等时相似比为 1，两边对应相等到相似三角形两边对应成比例，这也是由特殊到一般的发展过程。
师：如图，在△ABC 和△A'B'C'中，若 AB / A'B' = AC / A'C'，且∠A = ∠A'，则△ABC ∽△A'B'C'。这一猜想是否正确？下面我们一起来完成验证。是不是可以仿照判定定理一中按照截相等构造平行证明全等得到相似的流程来证明这个猜想？请同学们独立思考，尝试完成这一猜想的证明过程。
师：我们一起来看，在△ABC 的边 AB 上或其延长线上截取 AD = A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则△ADE ∽△ABC。这一段描述和判定定理一的证明是相同的。下面我们只需要证明△ADE ≌△A'B'C'即可。
师：下面的证明有何区别呢？同学们是否还记得，在判定定理一的证明中，我们借助平行就可以得到角的相等关系了。而现在我们的猜想中给的是边的成比例关系，又要得到相等，就衍生一个问题，如何由边的比例关系得到线段的相等关系呢？在比例关系中要得到线段的相等关系，应保证分子或分母相等，进而求得相应的线段相等的关系。
师：因为 AB / AD = AC / AE，且 AD = A'B'，所以 AB / A'B' = AC / AE。因为 AB / A'B' = AC / A'C'，所以 AC / A'C' = AC / AE，所以 A'C' = AE。又因为∠A = ∠A'，所以△ADE ≌△A'B'C'（用 SAS 来判定），所以△ABC ∽△A'B'C'。通过证明，我们发现猜想是正确的。所以如果两边对应成比例且夹角相等，也可以判定相似，于是我们得到三角形相似的判定定理二：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似。简单说成：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
师：如图，在△ABC 和△A'B'C'中，如果 AB / A'B' = AC / A'C'，且∠A = ∠A'，那么△ABC ∽△A'B'C'。随着定理二的学习，我们在面对两个三角形需要证相似时，除了找平行，找两角相等，还可以找两边对应成比例，且其夹角相等。下面我们来看定理的具体应用。
师：练习，在△ABC 中，∠A = 48°，AB = 1.5 厘米，AC = 2 厘米。在△DEF 中，∠E = 48°，DE = 2.8 厘米，EF = 2.1 厘米。请问这两个三角形相似吗？为什么？请同学们自主完成本题。
师：有没有同学计算完以后发现不相似呢？有的，也有同学发现计算完以后相似。原因是什么？读题发现在两个三角形中已经有一组角对应相等，还有三角形内各自两边的长。所以可尝试用判定定理 2 来判定两个三角形的相似。我们只需要计算两组边是否对应成比例即可完成判定。
师：于是有如下的解题过程，可判定△ABC ∽△EFD。理由如下：因为 AB / EF = 1.5 : 2.1，化简后为 5 : 7；AC / DE = 2 : 2.8，化简后也为 5 : 7，所以 AB / EF = AC / DE。又因为∠A = ∠E，所以△ABC ∽△EFD。
师：在本题中，已知线段长，我们要判定线段成比例，如何选择线段求比值呢？这就可以解决刚才为什么有同学算出相似，有同学算出不相似的原因了。因为要比值相等才能成比例，所以我们应选较短线段比较短线段，较长线段比较长线段。这样如果成比例，我们更容易发现。
师：若将∠E = 48°改为∠D = 48°，还能证明相似吗？显然不可以。在△ABC 中，∠A 是 AB 与 AC 边的夹角。但在△DEF 中，∠D 并不是 DE 与 EF 的夹角。所以虽然线段成比例，但由于不满足判定定理 2，当∠E 改为∠D 时，是不可以判定相似的。这也在提醒我们在以后做题时一定要准确判断边与角的对应，以及在各自三角形中的分布关系。
师：下面我们接着看问题。如图，点 D 在△ABC 的边 AB 上，点 E 在边 AC 上。AD = 2，BD = 1，AE = 3，CE = 1.5。问，△ABC 与△ADE 是否相似？请说明理由。读题发现△ABC 与△ADE 有公共角∠A，且依据题目条件容易求出△ABC 和△ADE 中的两边长。所以问题就可以转化为刚才的练习题啦。