师：同学们大家好，今天由我继续带领大家探究数学学习。前面的课堂，我们已学过二次根式的乘法和除法运算。现在，我们一起来回顾两个方面。第一，二次根式除法的性质是什么？谁能用式子表示？
生：根号a除以根号b等于根号b分之a ，a大于等于0，b大于0。
师：非常好。第二个问题，什么是最简二次根式呢？通过前面学习，我们知道最简二次根式有几点要求。第一，被开方数的因数是整数，因式是整式；第二，被开方数不含能开得尽方的因数或因式。大家想想，探究了乘法和除法运算后，接下来我们该探究什么呢？
生：二次根式的乘除混合运算。
师：没错。我们来看几道题。先看第一题，1/4根号18乘以8倍根号1/36除以2/3倍根号4又1/2 。大家审题，这道题中每个根式有几个特点。第一，每个根式前面都有系数；第二，每个根式都不是最简二次根式，尤其后面两个根式，被开方数还有分母；第三，这三个二次根式之间有乘有除，是乘除混合运算。这种情况下，我们可以先把系数进行乘除，再把根式进行乘除。为什么这样做呢？因为直接化简比较复杂，先把系数相乘除、根式相除会简单些。那我们继续，原式可以写成1/4乘以8乘以3/2，除法改写成乘法，再乘以根号18乘以1/36乘以2/9 。同样，把除法改写成乘法。
生：第一个括号结果是3 ，第二个根号里面运算结果是1/9 ，所以是3乘以根号1/9 。
师：对，根号1/9就是1/3 ，所以结果是3乘以1/3等于1 。在计算这道题时，我们发现当算式中二次根式含有分数且不易化简时，可以直接将系数与系数、根号内的实数分别相除。
我们再看第二题，根号12除以根号27乘以根号18 。大家审下题，它们之间有乘有除，且不是最简二次根式，但优势在于被开方数不是分数。那我们可以怎么做呢？
生：先把每个根式化简。
师：很好，它可以写成二倍根号3÷3倍根号3乘以三倍根号2 。这样做是不是轻松多了？为什么呢？
生：因为二倍根号3÷3倍根号3，能马上得出结果。
师：对，它可以写成2/3乘以三倍根号2 ，继续计算，答案是二倍根号2 。通过这道题，我们又能发现什么呢？
生：当算式中二次根式容易化简时，不妨先化简再计算。
师：非常棒。再来看第三题，九倍根号45乘以3/2倍根号2/3，除以2倍根号18 。第一题和第二题老师提供了两种方法，大家觉得这道题用哪种方法好呢？
生：第一种方法，先把系数相乘除，根式相乘除。
师：没错，原式就可以写成9乘以3/2乘以1/2 ，除法改成乘法，根号里面是45乘以2/3乘以1/18 ，结果写成27/4倍根号5/3 。同学们注意，做到这还需要做什么呢？
生：化简，因为根式里含有分数。
师：对，把它写成27/4乘以根号3分之根号5 。怎么化简呢？
生：分子分母同时乘以根号3 。
师：很好，继续，27/4乘以根号3得3 ，根号5乘以根号3等于根号15 。能约分吗？
生：能，3和27约完剩9 。
师：同学们，到这里我们已经熟练掌握了二次根式的乘法、除法以及乘除混合运算。数学与生活密切相关，学习了二次根式的乘除混合运算，能不能用它解决生活问题呢？看下一个例题。学校准备在旗杆附近修建一个面积为81平方米的花坛，现有两种设计方案，一是建成正方形，二是建成圆形。如果让你决策，选哪种方案能使图形周长最小，达到节省材料的目的呢？计算过程中π取3 。我们一起来分析。方案一，设正方形边长为a米，由题意可得a2 = 81 ，因为a是边长，是实际问题，所以a > 0 ，那么a等于多少呢？
生：a = 9 。
师：a = 9 ，正方形周长就是4a ，等于多少呢？
生：36 。
师：对，即正方形周长为36 ，方案一的周长解决了。再看方案二，设圆形半径为r米，那么πr2 = 81 ，由于π = 3 ，且r是圆半径，也是实际问题，r > 0 ，所以r等于多少呢？
生：r = 3倍根号3 。
师：那圆的周长就是2πr ，最终结果是多少？
生：18倍根号3 。
师：同学们，要选择哪种方案，其实就是比较18倍根号3与36的大小，大家最容易想到什么方法？
生：估算。
师：对，通过估算容易发现18倍根号3小于36 ，所以我们选择方案二，建成圆形更节省材料。回顾这个问题，我们用二次根式运算解决了生活问题。尤其最后一步，出现了二次根式大小比较。除了估算，还有其他方法吗？思考一下，比较5倍根号6与6倍根号5的大小，大家想想怎么比较？
生：可以把这两个数平方。
师：按照这个方法试试。5倍根号6的平方等于多少？