师：同学们，大家好！今天我们一起来学习1.3导数的几何意义。首先，回顾前两节课所学内容。第一个是平均变化率。对于函数(y = f(x))，在其图像上取一点(P)及另一点(Q)。我们把(\Delta y)比上(\Delta x)称作函数(y = f(x))从(x_0)到(x_0 + \Delta x)的平均变化率，其中(\Delta y)是函数的增量，即(f(x_0 + \Delta x) - f(x_0))，(\Delta x)是自变量的增量，也就是((x_0 + \Delta x) - x_0) 。
从图像上看，(\frac{\Delta y}{\Delta x})就是角(\beta)的正切值，而角(\beta)的正切值就是直线(PQ)的斜率。所以，平均变化率的几何意义就是(P)、(Q)两点所对割线的斜率。这里，(\frac{\Delta y}{\Delta x})从数的角度，斜率从形的角度，共同定义了平均变化率，实现了数与形的完美结合。
紧接着，我们学习了导数的定义。函数(y = f(x))在(x = x_0)处的瞬时变化率，也就是(\Delta x \to 0)时平均变化率趋于的定值，这个定值就称为函数(y = f(x))在(x = x_0)处的导数，记作(f^\prime(x_0))或者(y^\prime|_{x = x_0})。函数(y = f(x))在(x = x_0)处的导数，表示函数(f(x))在(x = x_0)处的瞬时变化率，反映了函数(f(x))在(x = x_0)附近的变化情况。
那么导数的几何意义是什么呢？由前面复习可知，平均变化率是(\frac{\Delta y}{\Delta x})，当(\Delta x \to 0)时，平均变化率趋于一个定值，这个定值就是导数。我们又知道平均变化率的几何意义是割线的斜率。当(\Delta x \to 0)时，点(Q)向点(P)无限靠近，同学们思考一下，此时割线会如何变化？下面我们通过一组动画来观察割线的变化。
当(\Delta x \to 0)时，可以看到点(Q)向点(P)逐步靠近，这时割线(PQ)将趋近于一个确定的位置，即图中红色直线所在位置。在数学上，我们通过逼近的方法将割线趋于的确定位置的直线定义为切线。
说到切线，在初中平面几何中，直线和圆有唯一公共点时，称直线和圆相切，这条直线是圆的切线，唯一公共点叫切点。但这种定义不适用于一般曲线的切线，比如对于任意常数(a)，直线(x = a)与抛物线(y = x^2)只有一个交点，显然这条直线不是抛物线的切线，所以以前切线的定义有局限性。而我们今天通过逼近方法定义的切线适用于各种曲线。
继续分析，当(\Delta x \to 0)时，平均变化率趋于的定值是导数，割线趋于的定直线是切线，平均变化率的几何意义是割线斜率，所以导数的几何意义就是切线的斜率。因此，函数(y = f(x))在(x = x_0)处的导数，表示曲线(y = f(x))在点(P)处切线的斜率。
函数(f(x))在(x = x_0)处的导数反映了函数(f(x))在(x = x_0)附近的变化情况，而导数的几何意义是切线斜率，所以函数(f(x))在(x = x_0)处切线的斜率，反映了函数(f(x))在(x = x_0)附近的变化情况。
来看右上角的图，如果想研究函数在某一点处的变化情况，直接观察有困难，借助今天所学知识，不妨在曲线上取一点(P)，函数在某一点附近的变化情况可通过该点切线的斜率来反映，所以过(P)作出曲线在点(P)处的切线，通过切线斜率反映函数在点(P)附近的变化情况。从图中可知切线斜率大于(0)，所以函数在点(P)附近单调递增，而且斜率大小反映函数在这一点增长的快慢。
进一步分析曲线在点(P)附近的变化情况，把曲线在点(P)附近放大，会发现曲线越来越像一条直线。曲线变化不好研究，但直线可通过其上两点求出斜率，所以函数(f(x))在点(P)附近的曲线可用在点(P)处的切线近似代替，这就是以直代曲的数学思想。
知道了导数的几何意义是切线的斜率，下面通过两个例题巩固所学内容。
第一个例题是课本例2，如图，它是跳水运动中高度随时间变化的函数(h(t)= - 4.9t^2 + 6.5t + 10)的图像。根据图像描述、比较曲线(h(t))在(t_0)、(t_1)、(t_2)附近的变化情况。同学们先思考这个问题怎么解决？
要解决这个问题，首先明确题目条件，即高度随时间变化的函数图像；其次明确要解决的问题，即根据图像描述比较曲线在(t_0)、(t_1)、(t_2)附近的变化情况。通过今天学习知道，函数在某一点附近的变化情况可通过该点处的切线反映，所以可以用曲线(h(t))在(t_0)、(t_1)、(t_2)处的切线刻画(h(t))在这三个时刻附近的变化情况。
先看(t = t_0)处，作出曲线在(t = t_0)处的切线，观察发现切线平行于(x)轴，所以在(t = t_0)附近，曲线比较平坦，几乎没有升降。
再看(t = t_1)时刻，作出曲线在(t = t_1)时刻的切线，观察可知曲线(h(t))在(t = t_1)处切线的斜率小于(0)，所以在(t = t_1)附近，曲线是下降的，即函数(h(t))在(t = t_1)附近单调递减。
接着看(t = t_2)时刻，作出曲线在(t = t_2)处的切线，由图形可知曲线在(t = t_2)处切线(L_2)的斜率也小于(0)，说明在(t = t_2)附近曲线下降，即(h(t))在(t = t_2)附近单调递减。观察图形还会发现，在(t = t_2)处的切线比在(t = t_1)处的切线要陡一些，斜率的绝对值大一些，说明函数(h(t))在(t_2)附近比在(t_1)附近变化得快一些。通过这个问题，借助导数的几何意义（切线的斜率）清晰直观地研究了函数(h(t))在(t_0)、(t_1)、(t_2)这三个不同时刻附近的变化情况。