师：同学们好，今天我们学习八年级下册第20章第二节《数据的集中趋势与离散程度》的第一课时——平均数。首先看这样一个问题，某校环保宣传小组对学校的空气含尘量进行监测，下面是某天每隔两小时测得的12个数据。那么，根据这些数据，如何了解该日空气含尘量的一般状况呢？
生：（思考、讨论）
师：可能有同学会想到用小学时学过的平均数来反映。那么，什么是平均数？又该如何计算平均数呢？平均数是指一组数据的和除以这组数据的个数所得到的商。下面我们来计算这组数据的平均数，将这12个数据相加，再除以12，也就是乘以1/12，最后得到的结果是0.03克每立方米。我们把这个平均数作为这组数据的一个代表，用来反映该日空气含尘量的一般状况，也就是说这个学校这一天的空气含尘量平均为0.03克每立方米。
从这个问题可以看出，平均数在生活中经常被使用。下面我们从符号的角度再来认识它。一般来说，如果有n个数据，表示为(X_1)，(X_2)，(X_3)，一直到(X_n)，将这组数据相加，再除以数据的个数，就得到了这组数据的平均数。我们用这种符号来表示，读作“(\overline{X})”，即平均数(\overline{X} = \frac{1}{n}×(X_1 + X_2 + X_3 +······ + X_n))。对于一组数据，我们常用平均数来作为刻画它集中趋势的一种方法，平均数是反映数据平均水平的一个特征量。
了解了什么是平均数，我们再回到刚才的计算。在计算过程中，同学们肯定能感觉到，当这组数据的个数比较多时，书写起来比较麻烦，计算时也常常出错，甚至会漏抄某几个数据。那么，有什么更好的办法呢？
生：（思考、交流）
师：我们观察到这组数据中有一些相同的数据，而相同的数据相加可以用乘法来表示。下面我们把相同的数据相加，用乘法来表示这组数据的平均数，还可以这样计算：即将5个0.03相加写成0.03乘以5的形式，其余类似。这样书写起来比较方便，计算也更容易，而且有利于我们检验是否遗漏了数据。这里有5个0.03、3个0.04、2个0.01、0.02和0.05各一个，共12个数据。下面我们用平均数来解决相关问题。在一次校园网页设计比赛中，8位评委对甲、乙两名选手的评分情况如下表。你能知道哪位选手的最后得分更高吗？
确定选手的最后得分有两种方案：一是将所有评委的评分的平均数作为最后得分；方案二是将评委评分中的一个最高分和一个最低分去掉后的平均数作为最后得分。我们分别用这两种方案来进行计算。
方案一：用所有评委的评分的平均分作为最后得分。甲同学的得分是8个数据之和，再除以8，最后约为9.21分。乙同学也是将8个评委的得分相加，再除以8，最后约为9.16分。由此可知，甲的成绩比乙高。
方案二：去掉一个最高分，去掉一个最低分，求最后的平均分。这时甲同学要去掉最高分9.8分，最低分8.8分，此时还剩下6个数据，它的平均分就等于(\frac{1}{6}×)剩余数据的和，最后约为9.18分。乙同学要去掉最高分9.6分，最低分8.0分，最后算得平均分约为9.28分。这时我们发现乙的成绩比甲高。在上面的两种方案中得到了两种不同的结果。那么从实际来看，你觉得哪种方案相对比较可信呢？
生：（思考、讨论、发言）
师：我们再来看这8位评委对甲、乙两位选手的评分，发现有5位评委对甲的评分不高于乙，这表明多数评委认为乙的成绩更好。而在方案二中，计算出乙的成绩比甲的成绩高，与大多数评委的意见相符，因此方案二评定选手的最后得分比较可取。那为什么方案一会计算出甲的得分更高呢？再仔细观察评委们的评分，不难发现4号评委与其余评委评分相差较大，因此对平均分也有较大的影响。那么请同学们思考这样一个问题，用平均数反映数据的集中趋势有什么缺点呢？
生：（思考、发言）
师：平均数是将一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，所以它容易受到个别极端数字的影响。那么如何避免这样的缺点呢？
生：（思考、发言）
师：为了消除这种现象，可将少数极端数据去掉，只计算余下的数据的平均数，并把所得的结果作为全部数据的平均数。如某些评奖比赛的计分通常去掉一个最高分和一个最低分。下面我们共同来完成以下练习。
第一题：下面是某班10位同学某次测试的成绩，你能求出他们的平均分吗？按照刚才所说的计算方法，这10位同学的平均分可以用他们的数据之和再乘以1/10来进行计算，结果为90.3分。当然，因为这组数据比较大，我们计算时也有一定的困难。又发现这10位同学的得分都在90分左右，所以我们可以用90分作为一个基准分，这样这10位同学的得分就记为······。这时，可以将他们所记得分的平均数再加上基准分，作为这10位同学得分的最后平均分，也算出是90.3分，这样就大大减少了计算量。
第二题：某次考试，5名学生的平均分是82分，除甲外，其余4名学生的平均分是80分，那么甲的得分是多少呢？题目中说5名学生的平均分是82分，那么我们就可以知道这5名学生所得的总分是5乘以82分；其余4名学生的平均分是80分，那么这4名学生的总分是4乘以80分。这样我们就可以计算出甲的得分了，计算结果为5×82 - 4×80 = 90分。这里我们用到了将平均数乘以这组数据的个数得到这组数据的和这种方法。