师：同学们好，上课前请准备好上海科学技术出版社九年级上册数学课本，以及本节课配套的学习任务单和学习用品。现在，我们继续学习二次函数的图像与性质。还记得学习函数图像与性质的思路吗？类比一次函数从特殊到一般的研究思路，当(b = c = 0)时，二次函数解析式变为简洁的(y = ax2)（(a≠0)）。通过描点法，我们得到(y = ax2)的图像是一条抛物线，结合图像特征分析了函数性质。接下来，给函数解析式加一个常数项(c)。
今天，我们研究形如(y = ax2 + c)的二次函数的图像和性质。先请暂停，在学习任务单的方格纸或课本第11页上，画出函数(y = 2x2)的图像，列表描点后，和老师给出的图像对比一下，看看做对了吗？接下来，请结合图像说一说(y = 2x2)的图像特点和函数性质，我们一起来说说。
(y = 2x2)开口向上，对称轴是(y)轴，图像先下降再上升，原点处为最低点，也是顶点。图像关于(y)轴对称，说明当(x)互为相反数时，函数值相同。当(x = 0)时，(y)的最小值为(0)。当(x < 0)时，(y)随(x)的增大而减小；当(x > 0)时，(y)随(x)的增大而增大。可以暂停，再结合表格回顾二次函数的图像特征和函数性质。我们主要从开口方向、对称轴、顶点、升降趋势来描述抛物线的特点，从对称性、增减性和最值等角度研究函数性质。
好，接下来在同一个平面直角坐标系中画出函数(y = 2x2 + 1)的图像。暂停，尝试独立完成列表、描点、连线。先求出对应的函数值，再描点，用平滑曲线连成后得到(y = 2x2 + 1)的函数图像。能说出函数(y = 2x2 + 1)的图像特征与函数性质吗？对，此时顶点是((0, 1))，也是图像最低点，开口依然向上，图像向上无限延伸。
这说明当(x = 0)时，函数最小值变为(1)。图像依然关于(y)轴对称，说明自变量取值互为相反数时，函数值相同。图像在(y)轴左侧下降，在(y)轴右侧上升，说明当(x < 0)时，(y)随(x)的增大而减小；当(x > 0)时，(y)随(x)的增大而增大。
请对比函数(y = 2x2 + 1)与函数(y = 2x2)的图像，找一找两条抛物线的共同点和不同点。不难发现，两个函数图像的开口方向、大小、对称轴、升降趋势都相同，顶点都是最低点。唯一不同的是顶点坐标，函数(y = 2x2 + 1)的顶点是((0, 1))，(y = 2x2)的顶点是原点((0, 0))。继续思考，这些共同点、不同点与函数解析式有什么关系呢？抛物线(y = 2x2 + 1)与抛物线(y = 2x2)的图像有什么联系？相信爱思考的同学已经想到，两个函数二次项系数相同，函数(y = 2x2 + 1)比函数(y = 2x2)多了常数项(1)，所以抛物线(y = 2x2)沿(y)轴向上平移一个单位，可得到抛物线(y = 2x2 + 1)，非常棒。
再看看解析式常数项的差别在列表上的体现，当自变量相同时，(y = 2x2 + 1)的每一个函数值都比(y = 2x2)大(1)。例如，(x = 0)时，(y = 2x2 = 0)；(x = 0)时，(y = 2x2 + 1)的函数值是(1)，比它大(1)，其他函数值对比也是如此。描在平面直角坐标系后，横坐标相同时，纵坐标大(1)，即((0, 0))向上平移一个单位变成((0, 1))，((1, 2))向上平移一个单位变成((1, 3))。每个点都沿(y)轴向上平移一个单位，那么抛物线(y = 2x2)沿(y)轴向上平移一个单位，就得到抛物线(y = 2x2 + 1)。请继续在同一个平面直角坐标系中画出函数(y = 2x2 - 1)的图像。
列表、描点、连线后，得到(y = 2x2 - 1)的图像。相信大家能很好完成，能说出函数(y = 2x2 - 1)的图像特征与函数性质吗？对，顶点是((0, -1))，也是图像最低点，开口向上且图像向上无限延伸，说明当(x = 0)时，函数取最小值(-1)。图像关于(y)轴对称，说明自变量取值互为相反数时，函数值相同。图像在(y)轴左侧下降，在(y)轴右侧上升，说明当(x < 0)时，(y)随(x)的增大而减小；(x > 0)时，(y)随(x)的增大而增大。相信你也发现了，三个函数图像的开口方向、大小、对称轴、升降趋势都相同，顶点都是最低点，但顶点坐标不同。抛物线(y = 2x2 - 1)与抛物线(y = 2x2 + 1)的图像有什么联系？直观感受，三个函数二次项系数相同，函数(y = 2x2 - 1)比(y = 2x2)多了常数项(-1)，所以抛物线(y = 2x2)沿(y)轴向下平移一个单位，可得到抛物线(y = 2x2 - 1)。而(y = 2x2 - 1)与(y = 2x2 + 1)的常数项相差(2)，所以抛物线(y = 2x2 + 1)沿(y)轴向下平移两个单位，可得到(y = 2x2 - 1)。是的，列表时，当自变量相同时，(y = 2x2 - 1)的每一个函数值都比(y = 2x2)小(1)。绘制点后，即横坐标相同时纵坐标小(1)，比如顶点((0, 0))向下平移一个单位变成((0, -1))，((1, 2))向下平移得到((1, 1))。每个点都沿(y)轴向下平移一个单位，那么抛物线(y = 2x2)沿(y)轴向下平移一个单位，得到(y = 2x2 - 1)。
接下来，请尝试独立完成(a < 0)的情况。利用学习任务单上的方格纸或课本第12 - 13页，在同一个平面直角坐标系中画出函数(y = -\frac{1}{2}x2)，(y = -\frac{1}{2}x2 + 1)，(y = -\frac{1}{2}x2 - 1)的图像。列表、描点、连线后，得到三条函数图像。注意取点可与老师不同，计算正确即可。观察图像，函数(y = -\frac{1}{2}x2)与函数(y = -\frac{1}{2}x2 - 1)，(y = -\frac{1}{2}x2 + 1)有怎样的图像特征和性质呢？同学们暂停，自己尝试说一说。三个函数开口方向都向下，对称轴都是(y)轴，在(y)轴左侧图像上升，在(y)轴右侧图像下降。三个函数顶点不同，(y = -\frac{1}{2}x2)的顶点是((0, 0))，(y = -\frac{1}{2}x2 + 1)的顶点是((0, 1))，(y = -\frac{1}{2}x2 - 1)的顶点是((0, -1))。
那么，抛物线(y = -\frac{1}{2}x2)与另外两条图像有什么联系？可以看到，抛物线(y = -\frac{1}{2}x2)沿(y)轴向下平移一个单位，可得到抛物线(y = -\frac{1}{2}x2 - 1)；抛物线(y = -\frac{1}{2}x2)沿(y)轴向上平移一个单位，可得到抛物线(y = -\frac{1}{2}x2 + 1)。通过这两组例子，可以看到一些共同点：(y = 2x2)的图像沿(y)轴向下平移一个单位，得到(y = 2x2 - 1)；沿(y)轴向上平移一个单位，得到(y = 2x2 + 1)，常数项依次向下平移减(1)，向上平移加(1)。(a < 0)时，也呈现类似特点，(y = -\frac{1}{2}x2)沿(y)轴向下平移一个单位，得到(y = -\frac{1}{2}x2 - 1)；沿(y)轴向上平移一个单位，得到(y = -\frac{1}{2}x2 + 1)。解析式的常数项加(1)时沿(y)轴向上平移，减(1)时沿(y)轴向下平移。如果常数项是加(2)，比如说抛物线(y = 2x2 - 1)沿(y)轴向上平移两个单位，就可得到(y = 2x2 + 1)，它们的常数项相差(2)。在此基础上，请总结函数(y = ax2)与函数(y = ax2 + k)图像之间的联系。二次函数(y = ax2 + k)的图像可由(y = ax2)的图像沿(y)轴平移(\vert k \vert)个单位得到。当(k > 0)时，向上平移；当(k < 0)时，向下平移。也就是说，(k)的符号决定平移方向，(\vert k \vert)决定平移距离。请看几何画板演示。
此时令(a = 1)取定一个值，当(k)从(0.5)逐渐变大时，函数图像向上平移。平移过程中，抛物线形状和大小不变。如果(a)变为(2)，(k)依然从(0.5)开始，观察发现图像依然向上平移，即函数图像上下平移与(a)的值无关，(a)不变，函数图像形状不变，(k)决定向上平移的距离。(a < 0)时，例如将(a)取(-1)，(k)从负数开始，例如(-5)。当(k)逐渐变大时，可以看到抛物线沿(y)轴向上平移。
这样就能看到，(k)确实决定函数图像平移的方向和距离。对于(y = ax2 + k)来说，是沿(y)轴上下平移的过程。接下来看一道练习，将抛物线(y = 3x2)向上平移两个单位后，得到新抛物线，其对应的函数表达式是什么？对，(y = 3x2 + 2)。如果将抛物线(y = -\frac{1}{2}x2 + 1)向下平移(3)个单位后，得到新抛物线，其对应的函数表达式是(y = -\frac{1}{2}x2 - 2)，直接在常数项基础上减(3)即可。做对了吗？知道抛物线(y = ax2)平移得到(y = ax2 + k)的图像后，图像哪些特征改变，哪些不变？因为抛物线沿(y)轴上下平移，所以只有顶点改变，抛物线的形状、开口大小和方向以及对称轴都不变，顶点从((0, 0))变为((0, k))。因此可以总结出，(a)决定抛物线的开口方向和大小，(k)决定顶点的纵坐标。请暂停，在学习任务单上填写(y = ax2 + k)的图像特征和函数性质。
请看，当(a > 0)时，如果(k > 0)，将(y = ax2)沿(y)轴向上平移；当(k < 0)时，将(y = ax2)沿(y)轴向下平移，函数图像开口都向上，对称轴都是(y)轴，顶点坐标是((0, k))。当(x = 0)时，函数取得最小值(k)；(x < 0)时，(y)随(x)的增大而减小；(x > 0)时，(y)随(x)的增大而增大。
再来看看(a < 0)的情况，当(a < 0)时，(k > 0)，将(y = ax2)向上平移；(k < 0)时，将(y = ax2)向下平移，图像对称轴都是(y)轴，顶点坐标还是((0, k))。当(x = 0)时，函数取得最大值(k)；(x < 0)时，(y)随(x)的增大而增大；(x > 0)时，(y)随(x)的增大而减小。掌握到这里，(y = ax2 + k)的图像特点和函数性质就完全掌握了。接下来请在学习任务单上完成练习。
看看掌握得如何？(y = 3x2 + 1)开口向上，顶点是((0, 1))，对称轴是(y)轴，顶点是最低点。(y = -4x2 - 5)开口向下，顶点是((0, -5))，对称轴是(y)轴，顶点是最高点。完成得很好，难度升级，试一试能否解决这个问题。若二次函数(y = ax2 + c)开口大小、方向与抛物线(y = x2)相同，顶点坐标为((0, -2))，那么它的表达式是多少？因为二次项系数(a)决定抛物线开口大小和方向，两者相同，即(a = 1)，而顶点坐标的纵坐标(-2)即为(c)值，所以(c = -2)，那么它的表达式是(y = x2 - 2)。
第二个问题，设点(( -1, y?))、((0.5, y?))、((2, y?))是该抛物线上的三点，试比较(y?)、(y?)、(y?)的大小关系。看到这里，请同学们暂停，尝试独立完成后再继续看老师讲解。结果是(y? < y? < y?)，做对了吗？来看一看。第一种方法，直接将横坐标代入解析式计算，可算得(y? = 1 - 2 = -1)，(y? = 0.52 - 2 = -1.75)，(y? = 22 - 2 = 2)，比较大小即可。第二种方法，可以画出函数示意图，在图像上找到三个点，比较每个点高低，可看到((2, y?))最高，((0.5, y?))最低，图像越高纵坐标越大，图像越低纵坐标越小，所以可得(y? < y? < y?)。其实还有第三种方法，利用函数性质分析。根据函数对称性，因为抛物线关于(y)轴成轴对称，所以(x = -1)与(x = 1)时函数值相同，那么可把(( -1, y?))转化为((1, y?))来比较函数值。接下来比较((1, y?))、((0.5, y?))、((2, y?))三个点高低，此时自变量值都大于(0)，根据函数增减性，(y)随(x)的增大而增大，因为(0.5 < 1 < 2)，所以可得(y? < y? < y?)。
三种方法分别采用了特殊值法、根据函数图像法、利用函数性质法。虽然看起来不如第一种方法简洁，但要学会用函数方法解决问题，这样遇到含有参数的函数问题才能解决，数形结合也是重要的数学思想。好了，梳理一下本节课主要内容。
抛物线(y = ax2 + k)（(a≠0)）与抛物线(y = ax2)有什么联系？二次函数(y = ax2 + k)的图像可由(y = ax2)的图像沿(y)轴平移(\vert k \vert)个单位得到。当(k > 0)时向上平移，当(k < 0)时向下平移。
第二个问题，二次函数(y = ax2 + k)的图像有哪些特征？二次函数(y = ax2 + k)对称轴依然是(y)轴，(a > 0)时，开口向上，图像在(y)轴左侧下降，在(y)轴右侧上升，顶点是最低点，坐标是((0, k))；当(a < 0)时，开口向下，图像在(y)轴左侧上升，在(y)轴右侧下降，顶点是最高点，坐标依然是((0, k))。那么抛物线(y = ax2 + k)的图像中，(a)决定图像什么特征，(k)又决定图像什么特征？(a)决定抛物线开口方向和大小，(k)决定顶点纵坐标。
这节课从最简单的二次函数开始，学习了(y = x2)的函数图像与性质，了解一般从开口、顶点、对称轴、升降趋势描述抛物线特征，从对称性、最值、增减性描述函数性质。添加常数后，(y = x2 + 1)的图像可由抛物线(y = x2)沿(y)轴向上平移一个单位得到。如果再添加一个一次项，比如(y = x2 + 2x + 1)的图像会是什么样呢？可以先试一试。最后是本节课老师留的课后练习，必做题帮助夯实基础，选做题帮助提升思维，还有有趣的信息实践作业，快来走进有趣的几何画板世界吧。好了，本节课就学到这里，很高兴与大家相遇，希望老师的讲解对你有所帮助。谢谢，再见。