师：同学们好，上节课我们开始学习反比例函数，现在一起回顾下什么是反比例函数。一般形如(y = \frac{k}{x})（(k)为常数且(k \neq 0)）的函数叫做反比例函数。那如何用待定系数法确定反比例函数表达式呢？一般经历以下步骤：一、设出含有待定系数的反比例函数表达式；二、将已知条件代入表达式，得到关于待定系数的方程；三、解方程，求出待定系数；四、写出反比例函数表达式。
接下来我们还能研究反比例函数的什么内容呢？我们知道学习函数一般经历函数的定义、图像与性质以及应用。那今天这节课我们就一起来研究反比例函数的图像与性质。对于反比例函数(y = \frac{k}{x})（(k)为常数且(k \neq 0)），它的图像怎么画呢？因为(k \neq 0)，我们可以分类讨论，分(k > 0)和(k < 0)两种情况。当(k > 0)时又该如何画呢？我们可以先给(k)赋一个特殊值，比如令(k = 6)，画出函数(y = \frac{6}{x})的图像。
画函数图像的步骤一般是列表、描点、连线。那如何列表呢？因为函数(y = \frac{6}{x})的自变量(x)取值范围是(x \neq 0)，所以列表时我们可以令(x)取一些正数，再取一些负数。这里正数我从(1)取到(6)，负数从(-1)取到(-6)，然后通过函数表达式求出相应(y)的值。
第二步是描点，在平面直角坐标系内，以表中各组对应值作为点的坐标描绘出相应的点。通过描点我们发现表格中列出的(12)个点，有(6)个点在第一象限，还有(6)个点在第三象限。
第三步连线，用平滑的曲线将各点顺次连接即可得到函数的图像。我们发现，和之前学习的一次函数、二次函数不同，我们无法用一条平滑的曲线连接所有的点。画出来的图像是两条曲线。观察画出来的图像，因为(x \neq 0)，所以这个函数图像与(y)轴没有交点，(y)轴把函数的图像分隔成两个分支，它们分别在第一和第三象限内。在每个象限内，图像自左向右下降，函数(y)随(x)的增大而减小。图像的两个分支都可以无限延伸，并无限接近(x)轴和(y)轴，但永远不与它们相交。
观察图像，我们还能发现，如果点(P(x_0, y_0))在函数图像上，那么点(P'(-x_0, -y_0))也一定在函数图像上，这是为什么呢？如果点(P(x_0, y_0))在函数图像上，那么点(P)的坐标就应该满足函数的表达式，所以(y_0 = \frac{6}{x_0})，两边同时乘以(-1)可得(-y_0 = \frac{6}{ - x_0})，所以点(P')的坐标也符合函数表达式，于是得到点(P')也在它的图像上。
下面我们从函数表达式(y = \frac{6}{x})的特点思考为什么图像会具有以上性质。(y = \frac{6}{x})分母(x \neq 0)，体现在图像上就是这个图像和(y)轴没有交点；(y \neq 0)体现在图像上，图像与(x)轴没有交点。(k = 6 > 0)，所以(x \times y > 0)，(x)和(y)同号，所以图像在第一、第三象限。当(x > 0)时，分母(x)越大，(y)的值越小，体现在图像上，就是在第一象限的时候，(x)越大，图像越接近(x)轴；分母(x)越接近(0)，(y)值越大，体现在图像上，就是在第一象限的时候，(x)越接近(0)，图像越接近(y)轴。(x < 0)时，分母(x)越小，(y)值越大，体现在图像上，就是在第三象限(x)越小，图像越接近(x)轴；分母(x)越接近(0)，(y)值越小，体现在图像上，就是在第三象限(x)越接近于(0)，图像越接近(y)轴。我们还能发现，当(x)取相反数时，(y)也取相反数，所以图像关于原点对称。有了以上研究，请大家思考：函数(y = -\frac{6}{x})的图像在第几象限？这里(k = -6 < 0)，(x)和(y)异号，所以图像应该在第二、第四象限，是这样吗？下面我们一起画出函数(y = -\frac{6}{x})的图像。
第一步仍然是列表，因为自变量的取值范围(x \neq 0)，所以列表时(x)仍然取一部分正数，一部分负数，(x)取从(1)到(6)，负数时(x)取(-1)到(-6)，然后算出相应(y)值。接下来把这些点在平面直角坐标系内描出，用平滑的曲线连接，我们会发现仍然是两条曲线，分别位于第二、第四象限。我们将刚才画的两个图像放到一起比较一下。
大家猜测函数(y = \frac{k}{x})的图像应该是怎样呢？要分(k > 0)和(k < 0)两种情况，具体是怎样的呢？(k > 0)时应该是在一、三象限的两条曲线；(k < 0)时，应该是在二、四象限的两条曲线，是这样吗？我们一起来看一下，右边这条竖线表示的是(k)的值，这是(0)、(1)，现在(k)取的是(1.58 > 0)，此时大家看一下函数的图像，恰好是在一、三象限的两条曲线。如果我们让(k)的值变大，始终是正值，我们可以发现图像始终在一、三象限。如果我们让(k)的值变小到负数，图像变到了二、四象限。这样我们可以得到：(k > 0)时，图像是一、三象限的两条曲线；(k < 0)时，图像是二、四象限的两条曲线。反比例函数(y = \frac{k}{x})的图像叫做双曲线。通过观察我们发现，当(k > 0)时，图像的两个分支分别位于第一和第三象限，在每个象限内，图像自左向右下降，函数(y)随(x)的增大而减小；当(k < 0)时，图像的两个分支位于第二、四象限，在每个象限内，函数自左向右上升，函数(y)随(x)的增大而增大。我们还可以发现反比例函数图像是中心对称图形，其对称中心就是坐标原点。下面我们一起解决几个问题练习。
练习一：对于函数(y = \frac{3}{x})，自变量(x)的取值范围是什么？当(x > 0)，(x < 0)时，图像有什么特点？这个函数是一个反比例函数，自变量(x)位于分母，所以(x \neq 0)。如果想具体研究图像的性质，我们可以画出函数图像。因为(k = 3 > 0)，所以函数图像应该位于一、三象限。当(x > 0)时，指的是图像在第一象限的这一支，(y > 0)，函数(y)随(x)的增大而减小；当(x < 0)时，指的是图像在第三象限的这一支，(y < 0)，函数(y)随(x)的增大而减小。
练习二：对于函数(y = -\frac{5}{2x})，自变量(x)的取值范围是什么？当(x > 0)，(x < 0)时，函数有什么特点？我们先看这个函数(y = -\frac{5}{2x})，它是反比例函数吗？是的，(k = -\frac{5}{2})。自变量(x)的取值范围是(x \neq 0)，这个函数图像应该是怎样的呢？因为(k < 0)，所以图像在第二、第四象限。当(x > 0)时，图像的哪一支在第四象限这一支，(y < 0)，函数(y)随(x)的增大而增大；当(x < 0)时，是图像的哪一支？第二象限的这一支，(y > 0)，函数(y)随(x)的增大而增大。
下面我们来看例一：已知反比例函数(y = \frac{2k - 1}{x})。如果这个函数图像经过点(( - 3, 5))，求(k)的值。这个解析式当中(k)是未知的，如果我们把点(( - 3, 5))的坐标代入，就可以得到关于(k)的一元一次方程，这样就可以解出(k)的值。解：因为函数图像经过点(( - 3, 5))，代入函数表达式得(5 = \frac{2k - 1}{ - 3})，解方程得(k = - 7)。
第2题：如果这个函数图像在它所处的象限内，函数(y)随(x)的增大而减小，求(k)的范围。函数在它所处的象限内，(y)随(x)的增大而减小，根据这个条件我们可以得出什么信息？可以得到函数的图像应该在第一、三象限，所以(2k - 1 > 0)。解：根据题意，有(2k - 1 > 0)，解不等式得(k > \frac{1}{2})。
练习3：点((2, y_1))和((3, y_2))在函数(y = -\frac{2}{x})上，则(y_1)与(y_2)的大小关系如何？函数(y = -\frac{2}{x})，它的图像在什么位置？因为(k = - 2 < 0)，所以这个函数图像在第二、四象限。点((2, y_1))、((3, y_2))横坐标分别是(2)和(3)，都是正数，所以这两个点都在函数图像第四象限的这一支。在第四象限，(y)随着(x)的增大而增大，因为(2 < 3)，所以(y_1 < y_2)，你做对了吗？
下面如果我们把练习3的条件变换，这两个点的坐标横坐标变为(x_1)和(x_2)，增加条件(x_1 < x_2)，则(y_1 - y_2)的值是4个选项。请大家先自己看一下这道题应该选择哪一个？有同学可能会说基于刚才的练习3，(y_1)应该是小于(y_2)的，所以选择b，是这样吗？我们一起来分析一下。这两个点都在函数图像上，(x_1 < x_2)，这两个点的位置有哪些关系呢？因为函数图像是在二、四象限，所以这两个点有可能都在第二象限，也有可能都在第四象限，还有可能一个在第二象限，一个在第四象限。第一种情况和第二种情况，因为在每个象限内(y)随(x)的增大而增大，(x_1 < x_2)，所以都有(y_1 < y_2)。而第三种情况通过图像我们就可以发现(y_1 > y_2)，所以前两种情况，(y_1 - y_2 < 0)，值是负数；第三种情况，(y_1 - y_2 > 0)，值是正数。所以这道题我们只能选择d，不能确定。
那么通过这道题的解决，我们可以说函数(y = \frac{2}{x})的图像自左向右上升，函数(y)随(x)的增大而增大吗？这样说行不行？为什么？怎么样改呢？我们要加上一个范围，在每个象限内。
练习：双曲线(y = \frac{2}{x})与直线(y = 2x)的一个交点为((1, 2))，则另一个交点为4个选项，请大家独立思考。好，我们一起来看一下，双曲线它的图像有什么特点？关于原点对称，直线(y = 2x)也关于原点对称。两个函数的图像都关于原点对称，所以它们的交点的坐标肯定也是关于原点对称的。那一个交点是((1, 2))，这个点关于原点的对称点是(( - 1, - 2))。所以另一个交点的坐标为(( - 1, - 2))。这道题选择a，你做对了吗？
练习5：函数(y = kx)与(y = \frac{k}{x})在同一直角坐标系中的图像可能是。下面有4个图像，请大家先独立思考，我们一起来分析一下。函数(y = kx)是正比例函数，它的图像是怎样的呢？当(k > 0)时，它的图像位于一、三象限；当(k < 0)时，图像是经过二、四象限的一条直线。(y = \frac{k}{x})它的图像是双曲线，(k > 0)时位于一、三象限，(k < 0)时位于二、四象限。
我们一起来看一下a选项，先看直线(y = kx)，图像位于一、三象限，所以(k > 0)；再看双曲线位于二、四象限，(k < 0)，发生了矛盾，所以a选项不能选。再看b选项，直线(y = kx)位于二、四象限，所以(k < 0)；反比例函数(y = \frac{k}{x})图像位于一、三象限，(k > 0)，发生了矛盾，也不能选。再看c选项的这条直线没有经过原点，所以它不是正比例函数的图像，c选项排除。d选项直线经过二、四象限，所以(y = kx)的(k < 0)；双曲线在二、四象限，所以(k < 0)，所以这道题选择d。我们再看一下函数(y = kx)与(y = \frac{k}{x})的图像，除了d选项以外，还有没有可能有其他的可能性？d选项是当(k < 0)的时候，如果(k > 0)，这两个函数的图像在同一直角坐标系内又应该是怎样的呢？直线的图像经过一、三象限，双曲线的图像也经过一、三象限，所以它们的图像还有可能是这样的，你想到了吗？
课后作业：
必做题：
一、画反比例函数(y = \frac{4}{x})与(y = -\frac{4}{x})的图像。
二、习题21.5第七、八两题。
选做题：（此处未提及选做题内容）
同学们，这节课就到这里，再见。