师：同学们好，今天我们一起来学习高中数学，内容是北京师范大学出版社高二年级选修2 - 2第四章第三节“平面图形的面积”。通过前面的学习，我们知道定积分应用广泛，像求平面图形的面积、根据速度求路程、求给定力所做的功等问题，都能用定积分解决。本节课，我们就通过实例来体会定积分在几何中的应用。
首先，了解一下本节课的学习目标：一是利用定积分求平面图形的面积；二是在利用定积分求平面图形面积的过程中，掌握定积分解决实际问题的方法，培养数形结合的意识；三是通过定积分的简单应用，体会微积分在实际生活中的广泛应用，提高直观想象、数学建模等学科素养。
同学们，我们会求长方形、圆形、三角形、梯形等规则图形的面积。那像生活中一片树叶或者一片花瓣等不规则图形的面积，我们能不能求出来呢？今天，我们就来体验定积分在实际问题中的应用之一——求平面图形的面积。
课前，我们先复习一下前两节课学过的内容。定积分的几何意义：当(F(x)≥0)时，函数(y = F(x))与(x = a)，(x = b)围成的曲边梯形的面积(S)，就等于函数(y = F(x))在区间([a,b])上的定积分；当(F(x)≤0)时，由于积分值为负数，而面积(S)为正数，所以二者互为相反数。
再来看微积分基本定理：如果连续函数(F(x))是函数(f(x))的导函数，那么(F(x))在区间([a,b])上的定积分等于(F(b) - F(a))。这个式子被称为牛顿 - 莱布尼茨公式，是我们本节课计算求值的基础。这里的关键是要找到(F(x))的一个原函数，同学们可以参考教材附录一常用函数积分公式表。
下面，我们来看今天的第一个例题，求阴影部分的面积。分析这个题目，阴影部分的面积包括两部分，(x)轴上方和(x)轴下方，我们分别称为(S_1)和(S_2)。根据定积分的几何意义，(S_1)等于函数(y = \sin x)在区间([0, \pi])上的定积分。因为(\sin x)的一个原函数是(-\cos x)，所以(S_1 = -(\cos \pi - \cos 0) = 2)。同理，(S_2)可以用积分式表示。由于图像在(x)轴下方，所以(S_2)可以表示为函数(y = \sin x)在区间([-\pi, 0])上定积分的相反数。当然，有同学发现，因为正弦函数是关于原点对称的，所以(S_2)其实就等于(S_1)，也等于(2)。这样，我们要求的阴影部分的面积(S)就等于(4)。同学们，我们发现，对于同一题目，如果思路不一样，会有不同的方法。所以同学们在做题过程中，尽量尝试用不同方法解决同一个问题。
下面，我们来看第二个例题。求抛物线(y = x^2)与曲线(y = \sqrt{x})所围成平面图形的面积。大家思考一下，这个题目的解题步骤是什么？对，首先要做出函数的图像。同学们发现这个图像和我们课前讲的那一片花瓣的形状很相似。接下来，大家自己试着看看能不能把这一片花瓣的面积求出来。
同学们可能发现，这个阴影部分的面积不能像刚才那样用一个积分式表示出来。不过没关系，我们可以用割补法，通过两个图形的面积之差把(S)表示出来。同学们发现是哪两个图形的面积之差了吗？
是这样的，我们把函数(y = \sqrt{x})与(x)轴、(x = 1)围成的面积称为(S_1)，另外一部分面积就是函数(y = x^2)与(x)轴、(x = 1)围成的面积，称为(S_2)。那么我们要求的面积(S)就等于(S_1 - S_2)。所以，下面我们只需要分别求出(S_1)和(S_2)，再做差即可。
根据定积分的几何意义，(S_1)就等于函数(y = \sqrt{x})在区间([0, 1])上的定积分。而(y = \sqrt{x})的一个原函数是(y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}})。根据牛顿 - 莱布尼茨公式，我们把积分上下限分别代入做差，得出(S_1 = \frac{2}{3})。同理，(S_2)可以表示为函数(y = x^2)在区间([0, 1])上的定积分，而函数(y = x^2)的一个原函数是(y = \frac{1}{3}x^3)。根据牛顿 - 莱布尼茨公式求出(S_2 = \frac{1}{3})。做差后，阴影部分的面积(S = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3})。
同学们，通过这个题目，我们体验到了定积分在求平面图形面积过程中的便捷。下面我们一起来总结一下，由曲线(y = F(x))，(y = G(x))以及(x = a)、(x = b)所围成的面积(S)该如何用积分式表示出来？
通过刚才的做题经验和对阴影部分面积(S)的分析，发现它可以表示为函数(y = F(x))在区间([a,b])上的定积分，减去函数(y = G(x))在区间([a,b])上的定积分。如果(F(x))和(G(x))的图像都在(x)轴上方，这个结论不难理解。有同学可能会问，如果图像一个在(x)轴上方，一个在(x)轴下方，刚才那个结论是否还成立呢？简单分析一下，面积(S)可以分为(S_1)和(S_2)。根据定积分的几何意义，(S_1)等于函数(y = F(x))在区间([a,b])上的定积分，而(S_2)则等于函数(y = G(x))在区间([a,b])上定积分的相反数。二者相加，(S)仍然等于刚才的结果。所以说，阴影部分的面积(S)只和两个函数图像的相对位置有关系。即只要在区间([a,b])上，函数(y = F(x))的图像始终在函数(y = G(x))图像的上方，那么面积(S)就等于函数(F(x))在区间([a,b])上的定积分，减去函数(G(x))在区间([a,b])上的定积分。
有了解题方法，下面我们一起来做个练习。求由曲线(y = \sin x)和(y = \cos x)在区间([\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}])上所围成平面图形的面积。这个题目需要我们自己做出图像，然后求面积。
同学们，做好了吗？首先第一步做出函数图像，相信大家和我做的图像一样。下面如何表示阴影部分的面积呢？分析这个题目，平面图形上方的函数是(y = \sin x)，下方的函数是(y = \cos x)。所以面积(S)可以表示为(\sin x)在区间([\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}])上的定积分，减去(\cos x)在区间([\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}])上的定积分。(\sin x)的一个原函数是(y = -\cos x)，(\cos x)的一个原函数是(y = \sin x)，再根据牛顿 - 莱布尼茨公式求出面积(S = 2\sqrt{2})。同学们，求对了吗？