师：各位同学大家好，今天我们来学习选修2 - 2第2.1节导数的概念。在学习新课之前，我们先对上节课所学内容进行简单回顾。上节课我们从代数角度学习了刻画函数变化快慢的两个概念：平均变化率和瞬时变化率。
平均变化率用于刻画函数在一个区间上变化的快慢，若函数为(y = f(x))，在区间([x_1, x_2])上，其平均变化率为函数值的改变量与自变量的改变量之比，计算公式为(\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1})。
瞬时变化率则刻画函数在某一点处变化的快慢。对于函数(y = f(x))，先计算在区间([x_0, x_0 + \Delta x])上的平均变化率，即函数值改变量与自变量改变量之比。注意，这里算的是点(x_0)附近区间([x_0, x_0 + \Delta x])上的平均变化率。算出该平均变化率后，当(\Delta x)无限趋于(0)，也就是所取区间无限小的时候，平均变化率的值就趋于函数的瞬时变化率。平均变化率与瞬时变化率既有区别又有联系，平均变化率无限逼近即可得到瞬时变化率。
下面，我们结合刚才回顾的瞬时变化率的定义，以及上节课从平均速度无限逼近得到瞬时速度的步骤，来模仿写出求函数在点(x_0)处瞬时变化率的步骤。
第一步，要求函数在(x_0)点处的瞬时变化率，就在(x_0)点附近取区间([x_0, x_0 + \Delta x])。
第二步，求所取区间上的平均变化率，代入平均变化率公式计算。
第三步，在第二步所求平均变化率的基础上，当(\Delta x)无限趋于(0)，即所取区间无限小时，该平均变化率所趋于的值就是这一点处的瞬时变化率。在数学中，我们称平均变化率在(\Delta x)趋于(0)时所趋于的值为极限值，记作(\lim\limits_{\Delta x \to 0})平均变化率。在高中阶段，我们对极限不需要深入了解，只需计算一些极限存在的简单代数式的极限，一会儿在习题中大家可以感受如何求代数式的极限值。
好，下面进入今天的新课，我们要学习的概念是函数的导数。实际上，导数和我们之前学的瞬时变化率息息相关。从定义上看，函数(y = f(x))在点(x_0)处的导数，就是函数在这一点处的瞬时变化率，本质是一样的，导数可看作瞬时变化率的另一个称呼。
注意，导数的符号表示是(f^\prime(x_0))，一撇在字母(f)右上角，大家别写错。因此，导数的计算公式为(f^\prime(x_0))等于这一点处的瞬时变化率，也就是这一点处附近平均变化率在(\Delta x)趋于(0)时的极限值。
通过导数定义可知，平均变化率、瞬时变化率、导数这三个概念都是从代数角度刻画函数变化快慢。它们的关系是：对平均变化率取极限可得到瞬时变化率，瞬时变化率和导数是等价概念。所以，如果题目要求求函数在某一点处的导数，本质就是求函数在这一点处的瞬时变化率。那么，我们可以模仿求瞬时变化率的步骤，写出求函数(y = f(x))在点(x_0)处导数的三个步骤。
第一步，求(x_0)点处的导数，也就是求(x_0)点处的瞬时变化率，先在(x_0)附近取区间([x_0, x_0 + \Delta x])。
第二步，计算函数在该区间上的平均变化率，代入平均变化率公式，即函数值的改变量与自变量的改变量之比进行计算。
第三步，取极限。在第二步求出的平均变化率基础上，当(\Delta x)无限趋于(0)时，所取的极限值就是这一点处的瞬时变化率，也就是这一点处的导数值。大家回顾下这三个步骤，等会我们会用它求函数在某一点处的导数，记忆过程也是对瞬时变化率和导数定义的重温。
下面我们来看几道例题，感受如何求函数在某一点处的导数，以及所求导数值在实际问题中的意义。
例1：一条水管中流过的水量是时间的函数(y = 3x)，求函数在(x = 2)处的导数(f^\prime(2))，并解释其实际意义。
首先，求函数在这一点处的导数，利用刚才列出的求导三个步骤。
第一步，求(2)处的导数，在(x = 2)附近取区间([2, 2 + \Delta x])。
第二步，求函数在该区间上的平均变化率，代入平均变化率公式，函数值的改变量为(f(2 + \Delta x) - f(2))，把区间端点代入函数解析式计算，得到平均变化率的值为(3)。
第三步，对第二步求出的平均变化率取极限，当(\Delta x)无限趋于(0)时，平均变化率(3)无限趋近于数值(3)，所以函数在(2)处的导数是(3)，单位是立方米每秒。
那么，这个导数在实际问题中有什么意义呢？函数在(2)处的导数表示当(x = 2)秒时，水量的瞬时变化率，也就是水流在(t = 2)秒时刻的瞬时速度。可以说，如果水管中的水以(2)秒时的瞬时速度继续流淌，每经过(1)秒，水管中流过的水量为(3)立方米。
下面看例2：一名食品加工厂的工人上班后连续工作，生产的食品量是其工作时间的函数(y = f(x))，题目没给具体解析式，假设该函数在(x = 1)和(x = 3)处的导数分别是(4)和(3.5)，解释它们的实际意义。