师：同学们好，前几节课我们学习了推理与证明相关内容，今天继续学习与正整数n有关的证明方法——数学归纳法。先看两个情境。认识他是谁吗？对，法国著名数学家费马，17世纪卓越数学家之一，在数学诸多领域贡献极大。因其本职是专业律师，为表彰其数学造诣，世人称他为“业余数学家之王”。
费马有个猜想，他观察到(2^0 + 1 = 3)，(2^1 + 1 = 5)，(2^2 + 1 = 17)，(2^3 + 1 = 257)，(2^4 + 1 = 65537)，且发现3、5、17、257、65537这些数都是质数，于是猜想凡是(2^{2^n} + 1)（n属于正整数）这样的数都是质数。那费马这个猜想正确吗？后来瑞士数学家欧拉验证出当n = 5时，这个数不是质数，而是合数，证明费马猜想错误。
再看第二个情境。盒子里有5个小球，抽出第一个是红色，第二个也是红色，能否得出这5个球都是红色呢？很多同学会说，想知道5个球都为红色，把5个球全取出来一一观察就行。要是有10个球、100个球、1000个球甚至1万个球，逐一取出来观察的方法就麻烦了。
其实，刚才这两种情境，都是归纳法的一种。什么是归纳法呢？归纳法是由一系列有限的特殊示例得出一般结论的推理方法，也就是从特殊到一般。从特殊到一般得出的结论一定正确吗？从这两个情境看，情境一就不一定正确，费马猜想被欧拉推翻了；第二个情境，把5个球一一取出断定5个球都是红色，结论正确。这两种归纳法，一种叫不完全归纳法，即考察部分对象得到一般结论的推理方法，结论不一定可靠，但有利于发现问题、形成猜想；另一种是完全归纳法，考察全体对象得到一般结论的推理方法，结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难，比如小球个数增加到1000个、1万个，逐一验证就困难了。
来看一道例子，对于数列({a_n})，首项(a_1 = 1)，(a_{n + 1} = \frac{a_n}{1 + a_n})（n属于正整数），猜想(a_n)的通项公式是什么？你是怎么得到的呢？
生1：因为(a_{n + 1} = \frac{a_n}{1 + a_n})，所以(\frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{1 + a_n}{a_n} = \frac{1}{a_n} + 1)，所以({\frac{1}{a_n}})是以1为首项，1为公差的等差数列。所以(\frac{1}{a_n} = n)，进而推出(a_n = \frac{1}{n})。
师：这位同学用数列通项公式求法，利用倒数法求出(\frac{1}{a_n})是特殊数列，进而得到(a_n = \frac{1}{n})，过程正确。再看第二位同学的做法。
生2：因为(a_1 = 1)，代入(a_{n + 1} = \frac{a_n}{1 + a_n})，得到(a_2 = \frac{1}{2})，再代入式子得到(a_3 = \frac{1}{3})，由(a_3 = \frac{1}{3})代入又得到(a_4 = \frac{1}{4})，所以猜想(a_n = \frac{1}{n})（n属于正整数）。
师：要说明这个猜想正确，必须验证。刚才这位同学用的就是不完全归纳法。有同学说，由(a_n = \frac{1}{n})，前面(a_1)、(a_2)、(a_3)、(a_4)已得出，能进一步得到(a_5 = \frac{1}{5})，(a_6 = \frac{1}{6})，(a_7 = \frac{1}{7})等等。但能得到n属于全体正整数时，(a_n)都一定等于(\frac{1}{n})吗？逐一验证不可能，怎么用有限步骤解决无限问题呢？来看一段多米诺骨牌游戏视频。
（播放视频）从视频中探究几个问题：
多米诺骨牌全部倒下必须具备哪两个条件？第一，第一块骨牌必须倒下。但第一块骨牌倒下就能保证后面骨牌一定倒下吗？如果两块骨牌距离过大，第一块倒下不一定能推倒第二块。所以还必须具备第二个条件：前一块倒下必导致后一块倒下，即相邻两块骨牌距离要合适。这给出了一个递推关系，若第k块倒下，则相邻的第k + 1块也倒下。只有这两个条件都具备，所有骨牌才能全部倒下。
看完多米诺骨牌视频，对证明(a_n = \frac{1}{n})有什么启示？能否用多米诺骨牌倒下原理验证(a_n = \frac{1}{n})一定成立？
在多米诺骨牌游戏中，第一个条件“第一块骨牌倒下”，对应数列({a_n})中，当n = 1时验证猜想正确；第二个条件“如果第k块倒下时，一定能导致第k + 1块也倒下”，对应数列中，如果当n = k时猜想成立，即(a_k = \frac{1}{k})，则一定能推出当n = k + 1时，猜想也成立，即(a_{k + 1} = \frac{1}{k + 1})。
根据多米诺骨牌游戏的这两个条件可知，不论有多少骨牌都能全部倒下，推广到数列也是如此，由这两个条件可知对所有正整数n猜想都成立。也就是通过这两个步骤，用有限步骤解决了无限问题。
第一块骨牌不倒行不行？假如从第二块、第三块骨牌开始推倒，结果会怎样？第一块骨牌不倒肯定不行，必须倒下才能让所有骨牌倒下。如果从第二块或第三块开始倒，则只能让该块骨牌后面的骨牌全部倒下。也就是说，若验证从第二块或第三块骨牌之后骨牌倒下，只需让第二块或第三块开始倒就行，只要满足相邻骨牌关系即可。
证明一个与正整数有关的命题，可按以下步骤：
证明当n取第一个值(n = n_0)（(n_0)属于正整数）时，命题成立，这里(n_0)依据题目不同而不同。
假设当n = k（k属于正整数，(k \geq n_0)）时，命题成立，证明当n = k + 1时，命题也成立。
完成这两个步骤，就可断定命题对从(n_0)开始的所有正整数n都正确。这种证明方法叫数学归纳法，第一步是归纳奠基，只有第一步满足，才能进行第二步，第二步是归纳递推。归纳递推中，假设n = k时命题成立，这个假设必须在证明n = k + 1时体现出来，即归纳假设要用到归纳递推中。
再看刚才数列的例子，对于数列({a_n})，若首项(a_1 = 1)，(a_{n + 1} = \frac{a_n}{1 + a_n})，求证(a_n = \frac{1}{n})。
按照数学归纳法：
第一步，当n = 1时，(a_1 = 1)，命题成立。
第二步，假设当n = k时，命题成立，即(a_k = \frac{1}{k})。则当n = k + 1时，要得到(a_{k + 1} = \frac{1}{k + 1})。已知(a_{n + 1} = \frac{a_n}{1 + a_n})，把(a_k = \frac{1}{k})代入式子，推出(a_{k + 1} = \frac{1}{k + 1})，说明当n = k + 1时，命题成立。由这两步可知，(a_n = \frac{1}{n})（n属于正整数）命题成立。这里第一步是归纳奠基，第二步利用(a_k = \frac{1}{k})代入式子得出(a_{k + 1} = \frac{1}{k + 1})是归纳递推，进而得到结论(a_n = \frac{1}{n})成立。