师：同学们好，今天我们一起来学习第20章第二节方差第六课时。在学习新课之前，让我们先来回顾两个问题。第一个问题：表示一组数据的集中趋势的特征数有哪些？
生：表示一组数据的集中趋势的特征数有平均数、中位数和众数。
师：很好。第二个问题：我们如何计算一组数据的平均数、中位数和众数呢？
生：如果一组数据是X1，X2，一直到Xn，平均数x拔等于n分之一乘以X1加X2一直加到Xn。如果将这组数据按大小顺序排列，当数据个数是奇数时，正中间的那个数据就是中位数；当数据个数是偶数时，正中间两个数据的平均数就是中位数。众数是一组数据中出现次数最多的数据。
师：回答得很完整。下面请大家思考屏幕上的这个问题：两台机床都生产直径为20加减0.2毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽取10个进行测量，结果如下表所示。请根据以上结果评判哪台机床生产的零件精度更稳定。
要想解决这个问题，我们首先会想到比较两组数据的平均数。根据平均数的计算方法，不难求出A组数据的平均数是20.0毫米。同样，B组数据的平均数也是20.0毫米。我们发现平均数相等，因此很难用平均数来区分两台机床生产零件的精度稳定性。
我们再来比较两组数据的中位数。要想比较中位数，首先要将两组数据分别按大小顺序排列。如屏幕所示，由于每组数据都是偶数个，我们取正中间两个数据的平均数作为中位数。显然，两组数据的中位数都是20.0毫米，中位数也相等，也很难用来区分。
接着研究两组数据的众数。不难发现，A组数据的众数有两个，分别是19.8毫米和20.2毫米；B组数据的众数是20.0毫米。虽然它们的众数不相等，但众数无法完全反映数据的特征，因此还是很难用来区分精度稳定性。
由此可见，从数据的集中趋势这个角度很难解决这个问题。这时就需要我们寻求新的方法，也就是需要考察数据的离散程度。如何考察数据的离散程度呢？
为了更直观，我们可以用横轴表示数据的序号，纵轴表示零件的直径，把零件的直径用点来表示，如图所示。我们把经过20.0毫米且与横轴平行的直线表示平均数。要想判断它们的离散程度，只需要观察这些点与这条直线之间的位置关系。
对于机床A来说，我们发现位于这条直线上的有两个点，偏离直线0.1毫米的有两个点，偏离0.2毫米的却有6个点。对于机床B来说，有4个点在表示平均数的直线上，有4个点偏离0.1毫米，只有两个点偏离0.2毫米。所以可以直观地看出，机床B生产的10个零件的直径波动更小一些。也就是说，机床B比机床A生产的零件精度更稳定。
但直观感受并不非常严谨，我们又该如何用数量来刻画一组数据的离散程度呢？在统计学中，我们往往用方差来刻画数据的离散程度。什么是方差呢？
对于一组数据X1，X2，一直到Xn，如果它们的平均数是x拔，那么我们把s方等于n分之一乘以（X1减x拔的平方，加上X2减x拔的平方，一直加到Xn减x拔的平方），叫做这组数据的方差。
如何计算一组数据的方差呢？从方差的公式不难看出，首先要计算这组数据的平均数x拔，然后把x拔代入方差公式中，便可以求出方差s方。
再来研究方差的公式。我们发现公式中有X1减x拔的平方、X2减x拔的平方……一直到Xn减x拔的平方，它们相加乘以n分之一就是方差。这个结构与我们之前学习的平均数的结构有些类似。平均数是一些数据相加乘以n分之一。所以对于方差，也可以把它理解为一种特殊的平均数，即各个数据与平均数差的平方的平均数。
学习方差有什么作用呢？它又能帮助我们解决哪些问题？其实，方差是衡量一组数据离散程度的特征数，往往用来判断数据的稳定性、波动大小等。
下面我们就来计算问题中A、B两组数据的方差。我们知道，计算方差首先要计算每组数据的平均数。前面我们已经求过它们的平均数，x_A拔等于x_B拔都等于20.0毫米。把平均数分别代入方差公式，可以得到：对于A组数据，方差等于1/10乘以（第一个数20减20的平方，加上第二个数19.8减20的平方，一直加到最后一个数19.8减20的平方），计算等于0.026平方毫米。
同样的，计算B组数据的方差：等于1/10乘以（第一个数20减20的平方，加上第二个数20减20的平方，一直加到最后一个数19.8减20的平方），计算等于0.012平方毫米。
前面我们直观得到机床B生产的零件波动较小，此时计算方差的结果，发现B组数据的方差0.012小于A组数据的方差0.026。我们可以得到什么结论呢？
不难得到：一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度就越大。
请看屏幕上的例题：在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员身高如表格所示。哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐呢？
身高整不整齐考察的是数据的离散程度。我们知道，身高越整齐，数据的离散程度就越小，方差就越小。因此本题需要通过计算方差来进行判定。
计算方差，首先计算每组数据的平均数。不难得到，甲团的平均数x_甲拔等于1/8乘以这8个数据之和，等于165厘米。同样的，乙团的平均数x_乙拔等于1/8乘以这8个数据之和，等于166厘米。
把平均数分别代入方差公式：甲团的方差s_甲方等于1/8乘以（163减165的平方，加上164减165的平方，一直加到167减165的平方），等于1.5平方厘米。乙团的方差s_乙方等于1/8乘以（163减166的平方，加上165减166的平方，一直加到168减166的平方），计算等于2.5平方厘米。