师：同学们好，今天郝老师将和大家一起继续研究七年级数学第六章第三节实数。上节课我们知道每一个无理数都能在数轴上找到对应点，和有理数一样。那无理数是否也像有理数一样，有自己的相反数和绝对值呢？这节课我们就一起来探讨这些问题。接下来，请大家在数轴上表示下列各数：√2 - 2、√5、 -√2。我们先画出数轴，确定原点、正方向和单位长度，然后依次在数轴上标出√2 - 2、√5、 -√2。观察数轴，我们发现自左到右分别是 -2、 -√2、1、√2、√5 。在数轴上，右边的数总比左边的数大。大家能将刚才老师给出的这5个实数比较大小吗？
生： - 2 小于 -√2，小于1，小于√2，小于√5。
师：由此可见，“在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大”，不仅在有理数范围内适用，在实数范围内同样适用。再看数轴， - 1和1是一对互为相反数，只有符号不同，而且这两个点到原点的距离相等。我们再看√2和 -√2，同样只有符号不同，并且√2和 -√2到原点的距离都是√2。所以，我们说√2和 -√2互为相反数。“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”，这不仅适用于有理数，也适用于实数范围。按照研究相反数的方法，大家能说出实数范围内绝对值的意义吗？我们继续来看数轴。
生：√2到原点的距离是√2，根据绝对值的意义，√2的绝对值是√2。同时 -√2这个点到原点的距离也是√2，所以 -√2的绝对值也是√2。
师：没错，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，用|a|这个符号表示。通过数轴，我们知道了实数范围内相反数以及绝对值的意义。那请大家思考以下问题。观察数轴，我们知道√2的相反数是 -√2。那么 -π的相反数是多少呢？
生：因为互为相反数的两个数只有符号不同，所以 -π的相反数是π，0的相反数是0。
师：如果一个实数用a表示，那么数a的相反数即为 -a。接着，√2的绝对值是√2，那 -π的绝对值呢？
生： -π的绝对值表示 -π这个点到原点的距离，所以 -π的绝对值是π，0的绝对值是0。
师：非常好。在这里，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。在有理数范围内的绝对值法则同样适用于实数范围。如果用数学符号表示，a表示一个实数，当a＞0时，|a| = a；当a = 0时，|a| = 0；当a＜0时，|a| = -a。接下来，我们通过一组练习看看大家对相反数、绝对值的掌握情况。例一，求下面两个数的相反数和绝对值。 -√3的相反数怎么求呢？
生：只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是 -a，所以 -√3的相反数就是 -（ -√3）。
师：很好，那π - 3.14的相反数呢？
生：在这个式子前加上一个负号，即 -（π - 3.14），通过去括号，它等于3.14 - π。
师：所以， -√3以及π - 3.14的相反数分别为√3、3.14 - π 。在求一个数相反数时，只需在这个数前加上负号，再化简即可。接下来求这两个数的绝对值。 -√3的绝对值怎么求？
生：根据绝对值的意义， -√3的绝对值表示 -√3这个点到原点的距离，所以 -√3的绝对值是√3。
师：那π - 3.14的绝对值呢？我们要先判断π - 3.14的符号。π是无理数，大于3.14，所以π - 3.14是正数。按照绝对值法则，正数的绝对值等于它本身，所以π - 3.14的绝对值就是π - 3.14。在这类问题中，已知一个数能求出它的相反数和绝对值。那如果老师告诉你一个数的相反数和绝对值，你能求出这个数吗？请看例2，谁的相反数是3√27 ？谁的绝对值是√3 ？大家思考一下。
生：3√27表示27的立方根，27的立方根是3，3的相反数是 - 3，所以第一题答案为 - 3。到原点距离为√3的点有两个， -√3的绝对值是√3，√3的绝对值也是√3，所以a = √3或者 -√3。
师：非常棒。当数从有理数系扩充到实数范围内，我们发现有理数的有关意义在实数范围内同样适用。我们仿照有理数的研究路径，接下来就要研究实数的运算啦。在这里，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。同时，有理数的运算法则以及运算性质在实数范围内同样适用。下面我们用有理数的法则和性质来解决实数相关的计算。例3，计算下列各式的值，请同学们拿出纸和笔跟老师一起算。第一题，（√3 + √2） - √2 ，式子中括号前的正号省略不写，按照去括号法则直接去掉括号，这个式子变成√3 + √2 - √2 。大家想想接下来怎么做？
生：利用加法结合律，√2 - √2 = 0，所以结果为√3。
师：很好。我们再看第二题，3√3 + 2√3 ，3√3表示3乘以√3，2√3表示2乘以√3 ，这两个式子都含有√3，怎么计算呢？
生：可以变成（3 + 2）×√3 ，也就是5√3 。
师：没错，大家已经感受到有理数加法和乘法的运算律在实数运算中的应用了。接下来看第三题，|√2 - √3| + 2√2 。要解决这个问题，首先要判断绝对值里√2 - √3的差的符号，大家判断一下？
生：因为√2＜√3，所以√2 - √3是负数。
师：对，负数的绝对值等于它的相反数，也就是 -（√2 - √3） + 2√2 。使用去括号法则得到 -√2 + √3 + 2√2 ，这时再怎么做？
生：用到加法交换律和结合律，将 -√2和2√2进行求和，结果为√2 + √3 。
师：非常好。接着看第4题，√5 × √（1/5） ，这里√（1/5）其实表示√5的倒数，大家想想结果是多少？