师：大家好，今天我们来学习初中数学，人民教育出版社九年级上册第24章24.1.4圆周角的第二课时。我们先来观察三个图片，看看能发现什么特点？
先看第一幅图，有圆，还有四边形ABCD；第二幅图同样是一个圆，里面出现的是五边形ABCDE；第三幅图则是圆和六边形ABCDEF。对于这三幅图形，你们有什么观察发现？多边形和圆之间是什么位置关系呢？
生：……
师：通过观察可以发现，在这三幅图中，不管是四边形、五边形还是六边形，多边形的顶点都在圆上。多边形在圆的内部，相对地，圆在多边形的外部。由此，我们给出定义：如果一个多边形所有的顶点都在同一个圆上，这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。这里要注意，内接多边形和外接圆描述的是两个图形之间相对的位置关系。
现在，我们重点研究圆内接四边形。如图，四边形ABCD为圆O的内接四边形，圆O为四边形ABCD的外接圆。大家来猜想一下，角A与角C、角B与角D，它们之间在大小上有什么关系？
生：……
师：有同学可能已经猜到了，角A + 角C = 180度，角B + 角D = 180度。不过这只是猜想，猜想是否正确还需要严格证明。那怎样证明角A + 角C = 180度，角B + 角D = 180度呢？
圆中最基础的线是半径，两条半径连起来就有圆心角。所以这道题我们可以先做辅助线，连接OB、OD。我们先来研究角A和角C的大小关系，角A是哪条弧所对的圆周角？实际上是优弧BCD所对的圆周角。再看角C，它是劣弧BD所对的圆周角。在圆O中，圆周角和圆心角有1/2的关系。所以角A是优弧BCD所对圆心角的1/2，角C是劣弧BD所对圆心角的1/2。而这两个圆心角相加刚好构成一个周角360度，因此可以得出角A + 角C = 180度。
那同样的道理，要证明角B + 角D = 180度该怎么做呢？刚才连接的是OB和OD，现在要证明角B + 角D，我们可以连接OA和OC，研究角D和角B所对的弧，以及这些弧所对的圆心角来求解，这是第一种方案。
有同学会想，证明角B + 角D = 180度还有其他解法吗？有，之前我们学过四边形内角和等于360度，已知角A + 角C = 180度，那么角B + 角D = 360度 - （角A + 角C） = 180度。由此，我们得到圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补。书写格式为：因为四边形ABCD内接于圆O，所以角A + 角C = 180度，角B + 角D = 180度。
看第一题，若四边形ABCD为圆内接四边形，则角A : 角B : 角C : 角D等于多少？A选项1 : 2 : 3 : 4；B选项2 : 1 : 3 : 4；C选项3 : 2 : 1 : 4；D选项4 : 3 : 2 : 1。大家想想这题有几种解法？
生：……
师：第一种方案，因为圆内接四边形内角和等于360度，对于A、B、C、D几个选项，我们可以分别算出每个角的大小，然后保证角A + 角C = 180度，角B + 角D = 180度，这样也能得出答案。但这种解法运算量较大，有没有更简单的方案呢？
有同学可能会想到，因为圆内接四边形对角互补，所以角A + 角C和角B + 角D的大小相等。那么在A、B、C、D几个选项中，只要保证角A + 角C的份数和角B + 角D的份数相同就行。看A选项，角A + 角C合起来是4份，角B + 角D是6份，不符合；B选项，2 + 3 = 5份，1 + 4 = 5份，所以B选项正确；再看C选项，3 + 1 = 4份，2 + 4 = 6份，4和6不相等，不行；D选项，4 + 2 = 6份，3 + 1 = 4份，6和4也不相等，所以这题选B选项。
接下来看巩固提高的题目。第一题，如图，在圆O中，角BOD = 120度，那么角BCD是多少度？第二题，四边形ABCD是圆O的内接四边形，并且角A = 110度，角B = 80度，则角C等于多少，角D等于多少？第三题，四边形ABCD内接于圆O，角A : 角C = 1 : 3，则角A等于多少度？第四题，圆内接四边形ABCD中，如果角A : 角B : 角C = 1 : 2 : 5，则角D的度数为多少？给大家1分钟左右的时间思考如何求解。
生：……
师：先看第一题，角BOD = 120度，求角BCD。拿到这题，发现圆中有四边形OBCD，但它不是圆内接四边形，因为圆心O不在圆上。那怎么求解呢？这里的角BCD如果要出现圆内接四边形，它现在有没有对角？发现并没有。所以这题需要做辅助线，如图，在优弧上找一个点M，连接MB、MD。题目中已知角BOD的大小，我们能不能求出角M的大小？因为角BOD和角M都在圆O上，且角BOD所对的弧是弧BD，角M所对的弧也是弧BD，它们是同弧所对的圆周角和圆心角的关系。所以角M = 1/2角BOD = 60度。现在出现了圆内接四边形MBC D，根据圆内接四边形对角互补，所以角BCD = 180度 - 角M = 180 - 60度 = 120度，所以答案选120度对应的选项。