师：同学们好，今天我们一起来学习初中数学北师大版九年级上册第一章第三节正方形的性质与判定第二课时。让我们开启数学之旅吧。首先回忆几个问题：
- 菱形的定义是什么？一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
- 矩形的定义是什么？有一个角为直角的平行四边形叫做矩形。
- 正方形的定义是什么？一组邻边相等并且有一个角为直角的平行四边形叫做正方形。
我们观察这三个定义，有什么共同点呢？一组邻边相等，既是菱形定义的条件，也是正方形定义的条件；有一个角为直角，既是矩形定义的条件，也是正方形定义的条件。由此可见，正方形的定义其实是菱形定义与矩形定义的综合。
我们再看正方形的性质，从三个方面考虑：
- 边：四条边都相等。
- 角：四个角都是直角。
- 对角线：对角线互相垂直平分且相等。
四条边都相等，既是正方形的性质，也是菱形的性质；四个角都是直角，既是正方形的性质，也是矩形的性质；对角线互相垂直平分是菱形的性质，对角线相等平分是矩形的性质。所以，正方形的性质也是菱形性质与矩形性质的综合。由此可知，既是矩形又是菱形的平行四边形就是正方形。
本节课核心知识点一、正方形判定的定理
问题一：怎么在获得菱形的任意直角三角形基础上剪一刀，使展开图是正方形？请同学们动手操作。
生：（操作后）
师：相信同学们都操作好了。有的同学将锐角剪成45度角，得到的图形有一个角是90度，猜想当菱形一个角是90度的时候，会变成正方形；有的同学在菱形的直角三角形上将两条直角边剪为相等，展开后对角线相等，得到猜想：当菱形对角线相等时会变成正方形。
下面我们对猜想二“对角线相等的菱形是正方形”进行证明。
已知：如图，在菱形ABCD中，AC、DB是它的两条对角线，AC = DB。
求证：四边形ABCD是正方形。
证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AB = BC = CD = DA，AC⊥BD。又因为AC = DB，所以OA = OC = OB = OD。所以三角形AOB、三角形AOD、三角形BOC、三角形COD都是等腰直角三角形，所以∠ABC = 90度，所以四边形ABCD是正方形。
通过同学们的动手操作、猜想与证明，我们得到两种用菱形判定正方形的方法：
- 判定方法一：有一个角是直角的菱形是正方形。符号语言：因为四边形ABCD是菱形，∠ABC = 90度，所以四边形ABCD是正方形。
- 判定方法二：对角线相等的菱形是正方形。符号语言：因为四边形ABCD是菱形，AC = BD，所以四边形ABCD是正方形。
现在知道了如何通过菱形判定正方形，如果给我们的形状是矩形，又该如何判定呢？
问题二：满足什么条件的矩形是正方形？
请同学们准备一张矩形纸片，按下图折叠，然后展开折叠部分，得到一个正方形，量一量进行验证，给3分钟时间。
生：（操作思考后）
师：同学们应该有想法了。有的同学发现矩形原本邻边不相等，得到正方形时邻边相等了，从而猜想：当矩形的一组邻边相等时，会变成正方形；有的同学观察到矩形对角线原来只是相等，变成正方形时对角线垂直了，从而猜想：当矩形对角线互相垂直时，会变成正方形。
有了猜想，我们要进行证明。下面证明“对角线互相垂直的矩形是正方形”，有兴趣的同学可以在课下对“一组邻边相等的矩形是正方形”进行证明。
已知：如图，在矩形ABCD中，AC、DB是它的两条对角线，AC⊥DB。
求证：四边形ABCD是正方形。
证明：因为四边形ABCD是矩形，所以OA = CO = BO = DO，∠ADC = 90度。因为AC⊥DB，所以AD = AB = BC = CD，所以四边形ABCD是正方形。
这样我们又得到两种通过矩形判定正方形的方法：
- 判定方法一：有一组邻边相等的矩形是正方形。符号语言：因为四边形ABCD是矩形，AB = AD，所以四边形ABCD是正方形。
- 判定方法二：对角线互相垂直的矩形是正方形。符号语言：因为四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，所以四边形ABCD是正方形。
通过上述两个问题，我们一共得到五种正方形判定的方法：
- 定义法：有一组邻边相等且有一个角为直角的平行四边形是正方形。
- 矩形法：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
- 菱形法：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。
现在知道了5种正方形判定方法，同学们会用吗？来看例题。
如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。求证：四边形BECF是正方形。给同学们3分钟时间尝试证明。
生：（证明后）
师：相信同学们都证明好了。因为BF∥CE，CF∥BE，所以四边形BECF是平行四边形。因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC = 90度，∠DCB = 90度。因为BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，所以∠EBC = ∠ECB = 45度，所以EB = EC，所以平行四边形BECF是菱形。在三角形EBC中，因为∠EBC = 45度，∠ECB = 45度，所以∠BEC = 90度，所以菱形BECF是正方形。