师：同学们好，今天我们一起学习弧长和扇形面积。请同学们观看一个视频。这是2018年举行的首届田径世界杯200米决赛的视频，处在第六道的中国选手谢震业第一个冲过终点线获得冠军。同学们，在田径200米比赛中，运动员的起跑位置相同吗？为什么？
生：显然不相同。
师：对，我们知道200米跑道包括直道和弯道。为了比赛的公平性，直道长度相等，也要保证弯道的展直长度相同。如何计算弯道的展直长度呢？这是本节课需要探究的第一个知识点。前面我们学习了圆的一些知识，我们知道弧是圆的一部分，弧长就是弧的长度，也就是圆周长的一部分。想一想，如何计算圆周长？
生：只有确定圆的半径时才能计算圆周长。
师：非常好。当确定了圆的半径为r时，圆的周长C等于2πr。请同学们思考，圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？
生：由图可知是360度。
师：同学们能想到1度的圆心角所对的弧长是多少吗？我们知道圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，1度占360度的1/360，则它所对的弧长为周长的1/360，即1/360乘以2πr，计算可得πr/180 。那么n度的圆心角所对的弧长为多少呢？
生：n度是1度的n倍，则n度的圆心角所对的弧长为1度的圆心角所对弧长的n倍，即n乘以πr/180 。n度的圆心角所对的弧长也可理解为n度占360度的n/360，则它所对的弧长为周长的n/360，即n/360乘以2πr 。
师：由此我们得到弧长公式。在半径为r的圆中，n度的圆心角所对的弧长为l，l = nπr/180 。需要注意两点：一、公式中n和180都表示一度圆心角的倍数，它们不带单位；二、l与r的单位一致。有了弧长公式，我们做两个练习：半径为2厘米的圆中，30度的圆心角所对的弧长是多少？120度的圆心角所对的弧长是多少？半径为2的圆中，一段弧长为2π的弧，求它所对的圆心角的度数。请同学们按下暂停键思考2分钟。
（2分钟后）
师：同学们算出来了吗？已知半径和圆心角，我们利用弧长公式l = nπr/180 ，将r = 2，n = 30代入公式，l = 30/180×π×2 = π/3，即30度的圆心角所对的弧长是π/3厘米。将r = 2，n = 120代入弧长公式，l = 120/180×π×2 = 4π/3厘米。注意半径的单位为厘米，则弧长的单位也应为厘米，不能省略。已知半径和弧长，利用弧长公式l = nπr/180 ，已知弧长l = 2π，半径r = 2，得到方程nπ×2/180 = 2π，解得n = 180。一般的，与弧长有关的计算，利用弧长公式可以知二推三，即已知两个量的值，利用公式可以直接计算或列方程求出第三个量的值。下面我们看一道弧长公式在生活中的应用问题。例一，制造弯形管道时，经常要先按中心线计算展直长度，再下料。计算图中所示管道的展直长度l（结果取整数）。同学们先观察一下，弯形管道的展直长度包括哪些部分？
生：从图中可知，展直长度l包括线段CA、弧AB、线段BD三个部分。
师：非常好，线段CA和BD的长度均已知，还需求弧AB的长。要求弧AB的长，圆心角知道，半径知道，只要代入弧长公式即可。请看具体解答过程。
解：由弧长公式得弧AB的长l = 100×π×900/180 = 500π ≈ 1570毫米。因此管道的展直长度L = 2×700 + 1570 = 2970毫米，则管道的展直长度为2970毫米。接下来，我们探究这节课第二个知识点。请同学们观察图形，由扇子的边缘围成的图形，我们可以叫做什么？
生：扇形。
师：几何中我们这样定义，扇形由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形。我们怎么给扇形命名呢？像圆心角小于180度的扇形，我们记作扇形OAB，其中第一个字母表示圆心，后两个字母表示弧的两个端点。像圆心角大于180度的扇形，如图，在优弧AB上再取一个点C，记作扇形OACB。下面请同学们根据扇形定义判断下面阴影部分图形是否是扇形。
（一段时间后）
师：同学们判断出来了吗？我们知道扇形是由两条相等的半径和一条弧共三条线所围成的图形，故一不是扇形，二不是扇形，三是扇形，四不是扇形，五是扇形。认识了扇形后，如何求扇形的面积呢？由扇形的定义可知，扇形的面积就是圆面积的一部分。类比弧长公式的推导过程，请同学们思考，半径为r的圆面积是多少？
生：πr2。
师：1度的圆心角所对的扇形面积是多少？圆可以看作圆心角为360度的扇形，1度占360度的1/360。因此1度的圆心角所对的扇形面积应为圆面积的1/360，即πr2/360。那么n度的圆心角所对的扇形面积是多少？
生：n度的圆心角所对的扇形面积应是1度的圆心角所对扇形面积的n倍，即nπr2/360 。
师：由此我们得到扇形面积公式，在半径为r的圆中，n度的圆心角所对的扇形面积为S = nπr2/360 。注意，公式中360、n表示倍数关系，没有单位。我们知道扇形包含一段弧，在半径为r的扇形中，n度的圆心角所对的弧长l = nπr/180 ，扇形面积S = nπr2/360 。请同学们比较扇形面积和弧长公式，观察它们之间有什么联系。
生：把扇形面积公式中的nπr2/360的分母360分成2×180，分子nπr2分解成nπr×r，再转换成1/2×nπr/180×r，而nπr/180可以用l表示，则得到扇形面积等于1/2×lr 。
师：非常好，也就是说扇形面积可以用弧长和半径的积的一半表示，类似于三角形面积公式的表达形式。这就是扇形面积的第二个公式。有了两个扇形面积公式，请同学们看一组练习。一，已知扇形的圆心角为120度，半径为2厘米，则这个扇形的面积是多少？已知扇形面积为π/3，圆心角为60度，则这个扇形的半径是多少？已知半径为2的扇形，其弧长为4π/3，则这个扇形的面积是多少？请同学们按下暂停键思考3分钟。
（3分钟后）
师：同学们做出来了吗？观察扇形两个面积公式S = nπr2/360 = 1/2lr 。一、已知圆心角和半径，利用扇形第一个面积公式S = nπr2/360 ，将圆心角和半径的数值代入公式，求出面积为4π/3平方厘米，注意单位不能省略。二、已知扇形面积和圆心角，还是利用扇形面积第一个公式S = nπr2/360 ，将扇形面积和圆心角的数值代入公式，得到方程π/3 = 60/360×π×r2，求出半径为√2。三、已知半径和弧长，我们可以利用弧长公式l = nπr/180 求出圆心角，再利用扇形面积第一个公式S = nπr2/360 求出扇形的面积。除了这种方法，本题中还有没有其他的方法呢？