师：大家好，欢迎来到数学课堂。今天这节课讲的是实际问题与二元一次方程组的第三节。在上一节课中，我们用二元一次方程组解决了哪些实际问题呢？大家能回忆起来吗？
生：解决了三大类问题，第一是几何问题，第二是行程问题，第三是航行问题。
师：非常好。那这三大问题的注意事项是什么呢？几何问题要注意什么？
生：在找等量关系时，经常要用到几何图形的性质、公式以及图形中所反映出来的数量关系。
师：没错。行程问题主要注意什么呢？
生：主要注意追及和相遇。追及时，快者的路程减去慢者的路程等于两者之间原来的距离；相遇时，两者的路程和等于他们原来的距离。
师：很好。航行问题又需要注意什么呢？
生：要注意顺流和逆流，顺风和逆风道理也一样。顺流速度等于静水速度加上水流速度，逆流速度等于静水速度减去水流速度。
师：大家都记得很清楚。今天我们来研究一些比较复杂的实际问题。请看，长青化工厂与 A、B 两地有公路、铁路相连。这家工厂从 A 地购买一批每吨 1000 元的原料运回工厂，制成每吨 8000 元的产品运到 B 地。已知公路运价为 1.5 元/（吨·千米），铁路运价为 1.2 元/（吨·千米）。这两次运输共支出公路运费 15000 元，铁路运费 97200 元。那么，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少呢？这个题目看起来比较复杂，既有铁路又有公路，涉及原料和产品。要解决这个问题，我们需要知道哪些量呢？
生：要知道销售款、原料费和运输费。
师：没错，但这些量都离不开什么呢？
生：产品的数量以及原料的数量。
师：非常对。那产品的数量和原料的数量要通过什么才能求出来呢？
生：运输费，铁路运输费和公路运输费。
师：对。对于这类错综复杂的量，我们常用什么来分析呢？
生：列表。
师：很好。本题涉及哪两类量呢？
生：第一类是公路运费、铁路运费以及价值，第二类是产品数量和原料数量。
师：我们不妨假设制成 x 吨产品，购买 y 吨原料。大家能完成教材上的表格吗？这里有几个关键数量关系，每吨原料 1000 元，产品每吨 8000 元，公路运价 1.5 元/（吨·千米），铁路运价 1.2 元/（吨·千米），共支出公路运费 15000 元，铁路运费 97200 元。我们先看第一行产品，假设是 x 吨，原料是 y 吨。产品是从长青化工厂运到 B 地，原料是从 A 地运到长青化工厂。产品的公路运费，因为公路只有 20 公里，价格是 1.5 元/（吨·千米），所以是 1.5×20x；原料 y 吨，从 A 到长青化工厂的公路是 10 公里，运费就是 1.5×10y。所有公路运费合在一起是 15000 元。同样，产品从长青化工厂到 B 地走的铁路是 110 公里，铁路运费就是 1.2×110x；原料来的路上铁路是 120 公里，就是 1.2×120y，合在一起是 97200 元。产品每吨 8000 元，所以产品价值是 8000x，原料每吨 1000 元，价值就是 1000y。我们通过公路运费和铁路运费找到等量关系，就能解出 x 和 y，然后算出产品价值和原料价值，问题就解决了。接下来完整看一下解题过程。解：设制成 x 吨产品，购买 y 吨原料。由 1.5×20x + 1.5×10y = 15000，1.2×110x + 1.2×120y = 97200。解这个方程组，得到 x = 300，y = 400。但题目还没做完，我们要解决的是产品的价值比原料和路费多多少。继续计算，8000x - 1000y - 15000 - 97200，带入数据后，得到 8000×300 - 1000×400 - 15000 - 97200 = 1887800 元。这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 1887800 元。大家弄懂了吗？对于这类比较复杂的问题，我们小结一下。从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具。用方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际。再次提醒大家，列表真的很有用处。接下来我们再做一道比较复杂的题练习一下。某村 18 位农民筹集 5 万元资金，承包了一些低产田地。根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦。种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表。蔬菜每公顷所需人数是 5 人，每公顷投入资金是 1.5 万元；荞麦每公顷所需人数是 4 人，每公顷投入资金是 1 万元。在现有的情况下，这 18 位农民应承包多少公顷田地？怎样安排种植才能使所有人都参与种植，且资金正好够用？我们把表格放在旁边便于分析。不妨假设蔬菜的种植面积是 x 公顷，荞麦的种植面积是 y 公顷。那么蔬菜需要的人数是 5x 人，投入资金是 1.5x 万元；荞麦需要 4y 人，投入资金是 y 万元。合计起来，需要的人数正好是 18 人，所以 5x + 4y = 18；投入资金正好是 5 万元，所以 1.5x + y = 5。设蔬菜种植 x 公顷，荞麦种植 y 公顷，得到方程组：