师：同学们大家好，今天我们一起来学习第九章第二节一元一次不等式第二课时。上节课我们已经学习了一元一次不等式的概念和解法，相信同学们已经掌握了如何求解一元一次不等式。不过，小明同学遇到了一些问题，我们一起来看看。小明在解一元一次不等式$\frac{4}{2} - x \geq 1 - \frac{x - 2}{6}$时出现了错误。请大家仔细观察小明同学的解题步骤，找出错误之处，并说明错误理由。
我们来看，第一步去分母，应在不等式两边同时乘以最简公分母6。可以看到，不等式左边$3(4 - x)$是正确的，但右边第一项“1”漏乘了6，第二项$\frac{x - 2}{6}$乘以6后，分母6变为1，此时分子$x - 2$应看成一个整体，要加括号。所以，小明同学这一步出现了两个问题。
去括号这一步遵循去括号法则，没有问题。第三步移项，遵循不等式的性质一，在移项过程中，每一项都改变了符号，也没问题。第四步合并同类项，遵循合并同类项法则，同样没问题。第五步系数化为一，在不等式两边同时除以未知数的系数$-2$，根据不等式的基本性质三，不等号方向应改变，这里出现了错误。由此可见，小明同学在解这道题时，第一步和第五步出现了问题，而且第一步出错，整个解题过程就错了。
下面请大家解这个一元一次不等式，并把解集在数轴上表示出来。第一步去分母，在不等式两边同时乘以6，得到$3(4 - x) \geq 6 - (x - 2)$。第二步去括号，得到$12 - 3x \geq 6 - x + 2$。第三步移项，得到$-3x + x \geq 6 + 2 - 12$。第四步合并同类项，得到$-2x \geq -4$。第五步系数化为一，在不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得到$x \leq 2$。将这个不等式的解集在数轴上表示，因为是小于等于号，所以用实心点，方向向左。
下面我们来看例2，关于$x$的不等式$3x - 2a \leq -2$，它的解集如下图所示，求$a$的值。这是一个含参数$a$的一元一次不等式，我们把参数$a$看作常数来求解这个关于$x$的一元一次不等式，再根据数轴上给出的解集，利用解集的唯一性得到关于参数$a$的方程，进而求解。请大家尝试求解。
我们一起来看，把参数$a$看作常数，通过移项得到$3x \leq 2a - 2$，系数化为一，得$x \leq \frac{2a - 2}{3}$。观察数轴可知不等式的解集为$x \leq -1$，根据解集的唯一性，$x \leq \frac{2a - 2}{3}$与$x \leq -1$都表示这个不等式的解集，所以$\frac{2a - 2}{3} = -1$，解得$a = -\frac{1}{2}$。
请大家根据例2的解题过程尝试解这个问题：若关于$x$的一元一次不等式$\frac{2 + x}{3} > \frac{2x - a}{4}$，它的解集是$x < 1$，那么你能确定$a$的取值范围吗？
我们一起来看，第一步去分母，得到$4(2 + x) > 3(2x - a)$。去括号得$8 + 4x > 6x - 3a$。移项得$4x - 6x > -3a - 8$。合并同类项得$-2x > -3a - 8$，系数化为一，注意未知数前的系数是$-2$，不等号要改变，得到$x < \frac{3a + 8}{2}$。
已知这个关于$x$的一元一次不等式的解集是$x < 1$，根据解集的唯一性，我们可以得到$\frac{3a + 8}{2} = 1$，这是一个关于$a$的一元一次方程，解出$a = -2$。
请大家根据前面两个含参不等式的解题过程，尝试解下面这个问题。
例3，若关于$x$的一元一次方程$x - m + 2 = 0$，它的解是负数，求$m$的取值范围。请大家尝试求解。
我们一起来看，首先把参数$m$看作常数来求解这个关于$x$的一元一次方程。因为$x - m + 2 = 0$，所以$x = m - 2$。题干中说这个方程的解是负数，即$x < 0$，所以可以得到$m - 2 < 0$，这是一个关于$m$的一元一次不等式，解得$m < 2$。
请大家根据例3的解题经验尝试解决下面这个问题。已知关于$x$的方程$4x + 3m + 1 = 2x + 5$，它的解是正数。1. 求$m$的取值范围；2. 在1的条件下解关于$x$的不等式$mx + 3 > 2(x - 2)$。
我们一起来看，这个问题和例题相似，把参数看作常数来解关于$x$的一元一次方程，再根据解的情况得到关于参数的不等式，从而获得$m$的取值范围。具体解题过程如下：
解1，因为$4x + 3m + 1 = 2x + 5$，移项可得$4x - 2x = 5 - 3m - 1$，即$2x = 4 - 3m$，所以$x = \frac{4 - 3m}{2}$。题干中方程的解是正数，所以$\frac{4 - 3m}{2} > 0$，这是一个关于$m$的一元一次不等式，解得$m < \frac{4}{3}$。
在1的条件下，这句话怎么理解呢？实际上通过第一问，我们得到了$m$的取值范围，即$m < \frac{4}{3}$，我们将利用这个条件来解决后面的问题。
对于不等式$mx + 3 > 2(x - 2)$，首先去括号得$mx + 3 > 2x - 4$，移项得$mx - 2x > -4 - 3$，合并同类项得$(m - 2)x > -7$。此时未知数的系数是$m - 2$，我们不清楚它的正负情况，要根据第一问得到的$m$的取值范围来讨论$m - 2$的正负，才能进行系数化为一。已知$m < \frac{4}{3}$，所以$m - 2 < 0$。那么在不等式两边同时除以$m - 2$时，不等号方向要改变，所以$x < \frac{-7}{m - 2}$，这就是这个关于$x$的不等式的解集。
下面我们来看例4，已知$a < 3$，则关于$x$的一元一次不等式$(a - 3)x > a - 3$，它的解集是哪一个呢？请大家思考，尝试解决。
我们一起来看，解这个关于$x$的一元一次不等式，到系数化为一这一步时，要判断未知数前的系数是正数还是负数。这里未知数前的系数含有参数$a$，要根据题目条件判断$a - 3$的符号。因为$a < 3$，所以$a - 3 < 0$。这时在系数化为一时，不等号方向要改变，即因为$a < 3$，所以$x < \frac{a - 3}{a - 3}$，也就是$x < 1$，故这道题应选择b。
请大家根据类似的解题经验尝试解决下面的问题。
已知关于$x$的一元一次不等式$mx - 3 > x + 1$。1. 若它的解集是$x < \frac{m + 3}{m - 1}$，求$m$的取值范围；2. 若它的解集是$x > \frac{3}{4}$，试问这样的$m$是否存在？如果存在，求出它的值；如果不存在，请说明理由。请大家仔细思考，尝试求解。
我们一起来看，把参数$m$看作常数来解这个关于$x$的一元一次不等式。移项得$mx - x > m + 3$，合并同类项得$(m - 1)x > m + 3$。接下来系数化为一，观察未知数前的系数$m - 1$，我们不清楚它的符号。根据第一问中解集是$x < \frac{m + 3}{m - 1}$，不等号方向发生了改变，所以$m - 1 < 0$，得到关于$m$的一元一次不等式，解得$m < 1$。
第二题，若它的解集是$x > \frac{3}{4}$，这个条件意味着什么呢？在第一问中我们已经知道$(m - 1)x > m + 3$，现在又知道解集是$x > \frac{3}{4}$，不等号方向没有改变，说明$m - 1$是正数，所以可得$\frac{m + 3}{m - 1} = \frac{3}{4}$，且$m - 1 > 0$。由$\frac{m + 3}{m - 1} = \frac{3}{4}$，可解得$m = -15$，而由$m - 1 > 0$可得$m > 1$。此时发现$-15$不在$m > 1$的范围内，这说明这样的$m$不存在。
下面我们一起来回顾一下本节课所学内容，思考下面三个问题。
一、本节课学习了哪些知识？本节课我们根据一元一次不等式的概念和解法求解一元一次不等式含参问题。
二、解决一元一次不等式含参问题的关键是什么？首先把参数看作常数，求出不等式的解集，再根据不等号的方向是否改变以及解集的唯一性，通过列方程或者不等式求出参数的取值范围。
三、本节课运用了哪些数学思想？本节课主要运用了数形结合、划归、分类讨论的数学思想。
这是本节课的作业：必做题，课本第126页，练习第二、三两个小题；选做题，若不等式$\frac{x - 5}{2} + 1 < x + 3$与$6x - 1 > 2(x + m) - 3$的解集相同，求$m$的值。我们可以观察这两个不等式，第一个不等式不含参数，容易求出它的解集，第二个含有参数。根据本节课所学，我们应首先把参数$m$看作常数来求解这个关于$x$的一元一次不等式，再根据解集的唯一性得到关于参数$m$的方程，进而求出参数$m$的值。请大家课下尝试求解。本节课的内容到此结束，同学们再见。