师：同学们，大家好。前几天我们完成了高中数学数列模块的学习，今天我带领大家复习。复习顺序如下：首先梳理本章知识网络，接着分析等差等比数列知识，然后梳理数列研究的基本问题，最后通过例题分析数列解题的基本方法。
先看知识网络，本章主要学习数列内容。我们先学了数列的概念，数列是按照一定次序排列的一列数，特别讲究次序。那如何表示它呢？于是我们学习了数列的表示，即数列的通项公式。表示数列时，我们还注意到数列的项的值和项的序号能形成对应，所以数列还是一种重要的离散函数。
学习完数列一般概念后，我们又学习了等差和等比这两个重要的基本数列，分别学习了它们的定义、通项公式、性质以及前(n)项和公式。等差和等比数列对我们学习和认识数列非常重要。一方面，推导它们通项公式时，我们学到了解析一般数列通项公式的方法，如累加、归纳、累乘等；求它们的和时，又得到了数列求和的方法，像倒序相加、错位相减等。另一方面，研究其他一般数列时，我们常将其转化为等差或等比数列来处理。学习完数列知识后，我们还将其应用到日常经济生活中，解决了分期付款、复利计算等实际问题。
在知识网络分析中，我们知道等差、等比这两个基本数列模型很重要。现在复习它们的知识。学习时，它们的定义是用文字语言给出的，我们通过数学抽象将其转化为符号语言，也就是这两种数列的递推公式，这样更利于研究。把这两个基本数列放在一起比较，会发现它们有很多相似之处，学习时要注意类比。当然也有不同，比如等差数列中(a_{n} - a_{n - 1} = d)是做差运算，而等比数列中(\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = q)是作比运算，所以等比数列每一项都不能为(0)。
由定义得到递推公式，再结合首项就能求出数列前几项。书中归纳出等差和等比数列的通项公式，又分别利用倒序相加、错位相减的求和方法推导出它们的前(n)项和公式。在通项公式和前(n)项和公式中，(a_{n})和(S_{n})都是关于(n)的函数。等差数列中，要注意(a_{n})与一次函数、(S_{n})与二次函数的联系与区别。等比数列前(n)项和公式使用时，要注意(q)是否等于(1)，要有分类讨论思想。
等差等比作为特殊数列，有特殊性质。结合一次函数可知，等差数列(d > 0)时递增，(d < 0)时递减。结合指数型函数可知，等比数列单调性与(a_{1})、(q)两个基本量有关，(a_{1} > 0)时，(0 < q < 1)递减，(q > 1)递增；(a_{1} < 0)时，(0 < q < 1)递增，(q > 1)递减。这两个基本数列的项还有下标和性质，等差数列中，下标和相同，两项之和相同；等比数列中，下标和相同，两项之积相等。
梳理完知识网络和等差等比数列知识，接下来思考数列研究的基本问题是什么以及如何分析。其实不难，先搞清数列常用的(4)种表达方法：直接列举、图像、给出数列的递推公式、给出通项公式或给出数列的前(n)项和公式，都能确定一个数列。这四种常用表达方法之间的相互转换，就构成了数列研究的基本问题：求项的问题、求通项公式、求递推公式和求和问题。比如，已知数列(a_{n} = 2n - 1)，写出前几项；已知数列递推公式(a_{n} = a_{n - 1} + 2)，(a_{1} = 1)，求通项公式；已知数列前(n)项和(S_{n} = n^{2})，用通项公式表达；或已知通项公式，用前(n)项和形式表达。
下面进行例题分析。先看求项的问题。第一个例子，在数列({a_{n}})中，(a_{n + 2} = a_{n + 1} - a_{n})，(a_{1} = 2)，(a_{2} = 5)，求(a_{2020})。题目给出递推公式和两个初始值，代入求(a_{3})方便，由(a_{3})结合(a_{2})求(a_{4})也容易，但求(a_{2020})，数字大，要么求通项公式，要么摆出前几项找规律。求通项公式，注意到递推公式不是特殊形式，所以枚举数列找规律。(a_{3} = 5 - 2 = 3)，(a_{4} = 3 - 5 = - 2)，依次摆出前几项，会发现从第七项、第八项开始，值与首项(a_{1})和第二项(a_{2})重复。因为递推关系不变，所以数列有周期，(a_{7} = a_{1})，(a_{8} = a_{2})，周期是(6)。(2020÷6)余(4)，所以(a_{2020} = a_{4} = - 2)。
再看求项的第二个例子，在等差数列({a_{n}})中，(a_{5} = 6)，(a_{8} = 15)，求(a_{11})。等差数列中知道两项可确定数列。解法一，设首项(a_{1})和公差(d)，由(a_{5} = 6)，(a_{8} = 15)，可得(\begin{cases}a_{5} = a_{1} + 4d\a_{8} = a_{1} + 7d\end{cases})，两式相减得(3d = 9)，解得(d = 3)，(a_{1} = - 6)，代入通项公式(a_{n} = 3n - 9)，(n = 11)时，(a_{11} = 33 - 9 = 24)。这体现了等差数列中重要的方程思想，也是知三求二的思想，等比数列同样适用。另外，观察条件，(a_{5})，(a_{8})，(a_{11})下标(5 + 11 = 2×8)，利用等差数列性质(a_{5} + a_{11} = 2a_{8})，代入数值(6 + a_{11} = 30)，更迅速求出(a_{11} = 24)。所以在等差和等比数列解题时，要注意观察条件，灵活使用性质，性质用不上时，注意基本量思想即方程思想。
这是求项的问题，下面看求递推公式的例子。已知函数(f(x) = \frac{x}{1 + 2x})，数列({a_{n}})满足(a_{1} = 1)，(a_{n + 1} = f(a_{n}))，证明数列({\frac{1}{a_{n}}})是等差数列。证明数列({\frac{1}{a_{n}}})是等差数列，本质是求(\frac{1}{a_{n}})的递推公式，要么(\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} = d)，要么符合等差中项的三项递推式。已知(a_{n + 1} = f(a_{n}))，代入函数解析式得(a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 2a_{n}})，出现(a_{n + 1})和(a_{n})两项，往两项递推处理。要得到(\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} = d)，需对(a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 2a_{n}})取倒数，前提是(a_{n})不为(0)。由(a_{1} = 1)代入可得(a_{2})不为(0)，进而(a_{3})不为(0)，以此类推(a_{n})都不为(0)。两端同时取倒数得(\frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{1 + 2a_{n}}{a_{n}} = \frac{1}{a_{n}} + 2)，移项得(\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} = 2)，符合等差数列递推公式定义，所以({\frac{1}{a_{n}}})是等差数列。证明数列是等差或等比数列，本质就是求符合其定义形式的递推公式。