师：同学们，大家好。今天我们要学习的内容是人教版八年级上册第11章第二节《与三角形有关的角》的第一课时，大家准备好了吗？接下来，我们先明确一下本节课的知识框架。三角形内角和定理是本章的重要内容，也是学习图形与几何的必备知识。
在上一节课，我们认识了与三角形有关的边，从边的角度解读了三角形。而在接下来的三个课时，我们将从角的角度来刻画三角形的特征，其中第一个需要掌握的就是三角形内角和定理。从今天开始，我们的学习将从小学的实验几何阶段逐步延伸到论证几何阶段，同时，也要求同学们掌握三角形内角和定理的简单应用。
大家看，这就是我们本节课的基本流程和实验阶段所需的物品，请按下暂停键，把它们准备好。回想一下，在小学时，我们已经用实验的方法论证了任意一个三角形的内角和等于180度，你们还记得是怎么发现这个结论的吗？请按下暂停键，有序地回顾一下。
生：（按下暂停键回顾）
师：回顾后我们知道，剪拼、折叠以及度量，是我们曾经得到内角和的方法。那么，哪些方法能用论证几何的要求来证明三角形内角和为180度呢？首先，要将实验过程数学化，比如剪拼图，把角B、角C剪下，让它们的顶点与A重合，就可以数学化为这两张图。如图，原三角形的三个内角被移至角A的顶点，让角B、角C的边不重复且不遗漏地拼在一起，得到一个可测量的平角。屏幕前的同学们，也可以试试图3、图4的拼法。
总之，各种剪拼方法都是将三个内角移至同一个角的顶点，转化成平角来验证三角形内角和为180度的结论。另外，在实验几何阶段，我们还可以过点A做BC的垂线，找到垂足点P，然后将三个内角折叠在点P处重合，可以看到在BC边上出现了一个平角，即角BPC。这样，我们用不同的方法将三角形的三个内角转化为平角。除了几何法中的剪拼和折叠，度量三个角的大小，将它们相加，也能把内角和的问题转化为平角。
但在实验几何阶段，我们通过这三种方法验证的三角形数量是有限的。在论证几何中，我们手中的三角形只能属于特殊情况，并不能代表一般情形，而且度量法还存在实际误差。因此，实验几何要逐步转化为论证几何，对于三角形内角和为180度的结论，需要站在论证几何的层面进行证明。
那怎样才能证明所有三角形的内角和都一样呢？问题二，大家能从以上的操作过程中受到启发，想出证明三角形内角和等于180度的方法吗？通过观察，我们发现不同的方法都是将未知的三角形内角和问题转化为已知的平角，在这个转化过程中，有哪些量发生了改变，哪些量没有改变？请按下暂停键，从位置关系和数量关系上思考一下。
生：（按下暂停键思考）
师：在不同的实验方法下，无论转化哪个角的位置，角的大小都没有改变。所以，在转化过程中，变化的是角的位置，不变的是角的大小。以剪拼法为例，再思考一下，哪些学过的定理可以转化角的位置，但不改变角的大小呢？同学们已经想到了吧，平行线是传递角的位置且不改变角大小的好途径。于是，过点A添加与BC平行的辅助线l，将需证明的内角和通过平行线性质转化为已知的平角。结合下图，大家能写出已知、求证和证明吗？请按下暂停键，用标准的几何证明格式书写。
已知、求证已在屏幕中呈现，大家注意书写规范。证明过程如下：过点A作直线l，使得l平行BC，因为l平行于BC，由两直线平行内错角相等，可得角2等于角4，角3等于角5，再由平角的定义可得角1 + 角4 + 角5 = 180度，通过等量代换，可得角BAC + 角B + 角C = 180度。
同样是剪拼法，同样利用平行线，我们还可以这样做。并且发现，不仅可以将未知的内角和转化为已知的平角，还能利用平行线的性质，将三个内角的位置关系转化成平行线间同旁内角的关系，如图中的角2 + 角3 + 角4也等于180度。同理，折叠法在数学化后，也能用同样的思路、同样的几何定理加以证明。
如图，将角2通过平行线传递给角6，角3通过平行线传递给角4，于是形成平角BPC，成功地转化了三角形内角和。经过实验几何阶段不同方法的引领，人们打开了对三角形内角和为180度的证明思路，开拓了眼界。于是尝试着将构建平角的点取在三角形的内部或者外部，它们都可以用相同的几何定理，以变角的位置不变角的大小为主线，将未知转化为已知，有理有据地证出所有三角形的内角和均为180度，这就是三角形内角和定理。
下面我们来现学活用。第一题，如图，在三角形ABC中，角BAC等于40度，角B等于75度，AD是三角形ABC的角平分线，求角ADB的度数。大家先将已知条件进行标记，角B = 75度，角BAC = 40度，结合AD是角平分线，可得角1 = 20度，所求的角为ADB。当我们把条件和所求角标记完毕后，相信同学们可以解决这个问题。过程如下，大家注意定理的使用格式。显然在三角形ABD中，已知两个角的度数，角B和角1，求第三个角ADB就很容易了。根据三角形内角和为180度提供的等量关系，就能顺利求出它的度数为85度。
反思一下，在三角形内角和定理的应用中，三个角知其二，就能求出第三个角。