师：同学们好，欢迎走进数学课堂，这节课我们一起学习高中数学人民教育出版社A版高二年级选修2 - 2第二章第二节直接证明与间接证明的第二课时——分析法。
在上一节课中，我们已经学习了直接证明的一种重要方法——综合法。请同学们回顾综合法的定义。
生：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法，也称顺推证法。它的思路是由因导果，所以综合法又称由因导果法。它的模式是由条件p推出Q1，由Q1推出Q2，由Q2推出Q3，依次下去，一直推出结论q。
师：非常好。综合法的特点是从已知想可知，逐步推向未知。它的书写格式是由p推出q，或者因为p，所以q。综合法的实质是寻找条件p的必要条件。使用综合法的关键是变形化简条件，通过连续化简将原题目转化为条件比较简单而保持结论不变的题。一般对于条件复杂而结论简单的题目，我们可以用综合法来证明，它的优点是便于表述。
下面我们来看一道题目，在三角形ABC中，已知角A等于$\frac{\pi}{3}$，角A、角B、角C所对的边长分别为a、b、c。求证：$\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + c} = \frac{3}{a + b + c}$。
大家思考一下，这道题目用综合法容易证明吗？
生：这道题用综合法不容易证明，因为它的结论比较复杂。
师：那对这种类型的题目我们又该如何处理呢？在上一节课的学习当中，我们知道条件复杂时，我们变形化简条件。现在结论复杂，一个自然而然的想法是变形化解结论。也就是说我们可以从要证明的结论出发。其实这种证明方法同学们并不陌生，我们在高一教材中也遇到过。请同学们回忆一下，我们在必修5教材当中基本不等式的证明过程，就采用了这种方法。
生：要证明$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$，只需证明$a + b \geq 2\sqrt{ab}$，进而只需证明$a + b - 2\sqrt{ab} \geq 0$，也就即只需证明$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$，而上述式子显然成立，因此原不等式成立。
师：这种方法就叫做分析法。有哲人说，存在即合理，它的意思是一切事物的存在都有它存在的理由，像这种先承认结论存在，而后分析这一结论存在的原因的方法，对我们数学学习有很大的启发。
今天这节课我们就来深入学习分析法。我们来看分析法的定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件。这个条件可以是已知条件，也可以是定理、定义、公理等为止。这种证明方法叫分析法。
由于分析法是从要证明的结论出发，因此分析法又称逆推法，它的思路是执果索因，因此分析法又称执果索因法。它的模式我们可以用下列框图来表示。
我们用q表示要证明的结论。要证明结论q成立，我们只需要找到使得结论q成立的充分条件P1。要证明P1成立，我们又只需找到使得P1成立的P2，进而只需找到使得P2成立的充分条件P3，一直下去，直到得到一个明显成立的条件。
它的特点是从未知想须知，逐步靠拢已知。分析法的书写格式是要证明什么，只需证明什么，而什么显然成立，所以结论成立。它的本质是寻找结论q的充分条件。
那同学们能用分析法来解决我们刚才提出的问题吗？
生：要证明这个结论成立，注意到这个结论比较复杂，并且具有分式的形式。一般遇到有分式的情况，我们通常先将其转化为整式，通分交叉相乘。于是我们只需要证明$(a + b + c)(a + b + c) = 3(a + b)(a + c)$。我们将其展开化简，只需证明下面这个式子是成立的。进而化简以后，我们只需证明$b^2 + c^2 - a^2 = bc$。看到这个式子，不难想到余弦定理。于是我们只需将其进一步变形为$\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{1}{2}$。再联想到余弦定理的推论，只需证明$\cos A = \frac{1}{2}$。又因为$A \in (0, \pi)$，所以只需证明角$A = \frac{\pi}{3}$。由已知条件知上述式子显然成立，所以结论成立。
师：在上述过程当中，我们先将结论由分式转化为整式，进而通过余弦定理的推论找到结论的充分条件$\cos A = \frac{1}{2}$。这里需要注意的是，我们在逆推时，如果还需要联立其他已知条件，共同寻求结论的充分条件的话，这个已知条件也要一并写出。比如这道题里的$0 < A < \pi$。那么一般的在书写格式上，我们可以在只需证明后面加一个括号，里面写上已知什么。
通过以上的证明过程，我们可以看到分析法使用的关键是变形化简结论，通过连续化简将结论变为比较简单而保持原条件不变的题目。一般对于结论复杂、条件简单的题，我们可以采用分析法，它的优点是便于寻找思路。
从刚才的证明过程中，我们还可以看到分析法的常见形式有：要证明a只需证明什么，或者要证明a（已知b）只需证明什么。
下面我们来看一看分析法在解题中的应用。
第一，求证$\sqrt{3} + \sqrt{7} < 2\sqrt{5}$。这里结论是根式的形式，用综合法容易证明吗？
生：这道题用综合法不容易证明。
师：那遇到有根式的情况，一般我们可以先将其两边乘方，尽可能地消去根式。于是我们要证明结论成立，只需要证明$(\sqrt{3} + \sqrt{7})^2 < (2\sqrt{5})^2$。这里我们用到了不等式的性质，不等式两边同正，两边才能同时乘方，因此我们需要在要证明的后面写上两边同正。
生：接着我们化简展开得$10 + 2\sqrt{21} < 20$，只需证明$\sqrt{21} < 5$，也就只需证明$21 < 25$，而上述式子显然成立，所以结论成立。
师：这里我们用分析法很容易找到证明的思路，那有了证明思路以后，我们再去用综合法容易证明了吗？
生：只要将刚才的过程倒过来写，我们就可以得到综合法的过程。当然了，我们也可以对其平方做差来证明。
师：由此我们也可以看出，在证明题目的时候，我们可以用分析法寻找思路，用综合法书写过程。
下面我们将例一做一个变式，我们把例一当中的一些数字换成字母，请看变式一。已知$a > 1$，求证$\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1} < 2\sqrt{a}$。这里的结论也是根式的形式，我们要尽可能先消去根式。因此我们可以仿照例一的思路将其两边平方。即只需证明$(\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1})^2 < (2\sqrt{a})^2$。展开以后，化简只需要证明$\sqrt{a^2 - 1} < a$。这个不等式当中它只有一个根式和一个常数项，于是问题便迎刃而解了。接着我们只需证明$a^2 - 1 < a^2$，只需证$-1 < 0$，而上式显然成立，所以结论成立。当然，这道题我们也可以用综合法来证明。仿照例一，同学们课下尝试一下。
现在我们在变式一的基础上进一步变形。请看变式2。已知$a > 1$，求证$\sqrt{a + 1} - \sqrt{a} < \sqrt{a} - \sqrt{a - 1}$。受变式一的启发，看到这个结论，同学们不难想到，我们可以将其移项转化成变式一中的结论的形式。于是我们只需证明$\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1} < 2\sqrt{a}$，于是问题便解决了。
那除了这种变形方式以外，还有没有其他的变形方式呢？受刚才的题目的启发，我们注意到不等式两边同正，我们可否也将其两边平方呢？下面我们一起尝试一下。
生：展开，我们可以得到，只需证明$2a + 1 - 2\sqrt{a(a + 1)} < 2a - 1 - 2\sqrt{a(a - 1)}$。化简以后，我们只需证明$2 < 2\sqrt{a(a + 1)} - 2\sqrt{a(a - 1)}$。这里有两个根式，一般遇到有两个根式的情况，我们通常要将两个根式放在不等式的两边再平方，这样可以减少计算量。于是只需证明$1 + \sqrt{a(a - 1)} < \sqrt{a(a + 1)}$。接着我们再平方，只需证明下面这个式子是成立的。这个式子当中只有一个根式，我们将常数项进行合并化简，于是只需证明$2\sqrt{a(a - 1)} < a - 1$。接着我们再只需证明左边的平方小于右边的平方，这里我们每一次转化的时候都要注意不等式两边同正。接着我们化简为只需要证明$0 < 1$。而上述式子显然成立，所以结论成立。
师：对比两种方法，哪一种方法更简单呢？
生：显然是法一。因为在法一当中，我们第一次两边平方之后只有一个根式和一个常数项，而法二一次两边平方之后有两个根式和一个常数项，计算量明显更大。
师：由此也启发我们，在用分析法证题的时候，我们要选择合适的充分条件，尽可能使得证明过程更简单。其次，分析法多用于含有无理式、分式等关系式的证明。遇到结论中有无理式的转化的时候，我们可以将其两边乘方。遇到结论有分式的，我们可以将其转化为整式。遇到结论中有绝对值的，我们可以将其两边平方。
以上我们单一地使用了分析法，完成了证明过程。我们明显地可以感受到分析法证明题目的优越性是便于寻找解题思路。还有一些题目比较复杂，我们需要同时使用分析法和综合法共同来攻克难关。
请看例2。已知$\alpha,\beta \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in Z$，且$\sin\beta + \cos\beta = \sqrt{2}\sin\alpha$，$\sin\theta \cdot \cos\theta = \sin^2\beta$，求证$\frac{1 - \tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha} = \frac{1 - \tan^2\beta}{2(1 + \tan^2\beta)}$。
这里结论是切的形式，而已知条件中是弦的形式，所以我们首先要转化结论，切化弦。同时我们还注意到结论中只有$\alpha$、$\beta$，而已知条件中既有$\alpha$、$\beta$还有$\theta$，因此我们还需要转化条件消去$\theta$。也就是说，这道题我们既要转化条件，又要转化结论，两手都要抓，两手都要硬。
我们先看如何转化结论，要证明结论成立，我们只需要证明下面这个式子。这是一个切化弦的过程。接着我们需要将其进一步转化，等式的左边我们可以分子分母同乘以$\cos^2\alpha$，等式的右边我们可以分子分母同乘以$\cos^2\beta$，于是只需要证明下面这个式子是成立的。
我们再注意到同角的正弦的平方和余弦的平方和等于1。因此我们又只需要证明$\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \frac{1}{2}(\cos^2\beta - \sin^2\beta)$。我们再注意到条件当中只有$\alpha$与$\beta$的正弦的形式，因此我们还需要将上述式子当中的余弦消去，转化为只有正弦的等式。只需证明$1 - 2\sin^2\alpha = \frac{1}{2} - 2\sin^2\beta$。
这是一个分式，我们还需要进一步转化为整式。那于是我们要证明结论成立，只要证明新式子是成立的。这里我们用分析法变形结论，找到结论的充分条件，新式子具体用的手段是切化弦。
下面我们再来看看如何转化条件。我们注意到题目当中给出的是$\sin\theta + \cos\theta$以及$\sin\theta \cdot \cos\theta$的形式。联想到$\sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1$，因此要想消去$\theta$，我们可以将一式的平方减去两倍的二式。于是左边是1，右边是$4\sin^2\alpha - 2\sin^2\beta$，而上述式子与新式子相同。于是问题得证。这里我们用到了综合法转化条件。
在这道题目当中，我们合用了分析法与综合法，完成了证明过程。一般的合用两种方法证明题目的一般模式可以概括如下，要证明结论q成立，我们只要找到q成立的一个充分条件Q1，而要证明Q1成立，我们又只要找到使得Q1成立的充分条件Q2，直到找到q'。下面我们再转化条件，从p可以推出P1，由P1我们又可以推出P2，依次下去一直推出p'。于是要证明p能推出q，我们只需要证明p'能推出q'。
从以上过程我们可以看出，综合法和分析法的书写过程是相反的，它的思路也是相反的。我们在证明题目的时候，既可以用分析法寻找解题思路，用综合法书写过程。我们还可以合用综合法与分析法，即采用分析综合法，俗称两头挤法来进行证明。这充分体现了综合和分析之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。
同学们能不能用我们刚才学到的方法去做一道小练习呢？请看课本91面的B组题。
第二题。设实数a、b、c成等比数列，非零实数x、y分别为a与b，b与c的等差中项，求证$\frac{a}{x} + \frac{c}{y} = 2$。
这里的结论是分式的形式，我们首先要将其转化成整式的形式。于是要证结论成立，我们只需要证明$ay + cx = 2xy$。我们再注意到已知条件当中$a + b = 2x$，$b + c = 2y$，这里有一个两倍的关系，因此我们又需要将条件进一步转化。只需证明$2ay + 2cx = 4xy$，我们把这个式子记为新式子。要证明结论成立，我们只需证明新式子成立。如何去证明？我们只需要证明等式的左边和右边相等即可。
下面我们把已知条件代入等式的左边可以得到$2ay + 2cx = ab + 2ac + bc$，我们再把条件代入等式的右边得到$4xy = ab + b^2 + bc + ac$，又因为$b^2 = ac$，所以$4xy = ab + 2ac + bc$，所以$2ay + 2cx = 4xy$。而上述式子与新式子是相同的，所以问题得证。这里我们再次合用了两种方法完成证明过程。
下面我们对本节课做一个简单的小结。通过本节课，同学们学习了哪些知识呢？
首先，我们学习了分析法的定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使得它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止。这种证明方法叫做分析法。
我们尤其要注意分析法的书写格式。常见的书写格式有要证明什么，只需证什么，或者要证明什么即证什么。如果还需要联立其他已知条件，共同寻求充分条件的话，我们还需要在要证明什么后面加上括号，里面写上已知。
第三个，从解题当中我们看到了综合法和分析法，它是两种对立统一的方法。我们可以用分析法探索途径，用综合法书写解题过程，我们也可以合用二者，采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找到已知与结论的连接点。
通过本节课的学习，同学们还收获了哪些思想、方法和观点呢？我们由综合法类比学习分析法，学到了类比的思想。使用分析法的关键是转化结论，我们还用到了转化的思想。此外，分析和综合之间互为前提，互相渗透，我们又学到了对立统一的观点。
最后，我们将这节课学习的分析法与上节课学习的综合法做一个简单的比较。
首先看相同点，二者都是直接证明。不同点，我们从以下几个方面逐一来看：
思路：综合法是由因导果，而分析法执果索因。
综合法的模式是由条件p推出Q1，由Q1推出Q2，一直下去，一直推出结论q。而分析法是从要证明的结论q出发，逐步找到使得它成立的充分条件。要证q只要找到充分条件P1，进而只需找到充分条件P2，一直下去，直到得到一个明显成立的条件。
综合法的特点是从已知想可知，逐步推向未知，而分析法的特点是从未知想须知，逐步靠拢已知。
综合法使用的关键是变形化简条件，而分析法使用的关键是变形化简结论。
综合法的本质是寻找已知条件的必要条件，而分析法的本质是找结论的充分条件。
综合法的书写格式是因为什么所以什么，而分析法的书写格式是要证明什么，只需要证明什么，有的时候我们也需要在要证明什么后面写上已知什么。
综合法的优点是易于表述，而分析法的优点是便于寻求思路。
我们今天的作业是教材99面B组题第二题以及相关两小题。这两道题用分析法证明都很有优越性，同学们课下可以尝试一下。第四个作业是预习相关内容。
我们今天这节课就上到这里。同学们，再见。