师：大家好，很高兴今天和同学们一起学习选修1 - 2第三章第一节数系的扩充和复数的概念。说到数系的扩充，我们先一起回顾数系扩充的过程。最初，因计数需要，我们引入自然数。在自然数集中进行除法运算时，遇到不能整除的情况，于是引入分数。负数的引入，解决了在自然数集中不够减的矛盾，整数和分数统称有理数。在计算过程中，又遇到像$\sqrt{2}$这样结果是无限不循环小数且不能用整数之比表示的数，所以引入无理数，有理数和无理数统称实数。
在实数范围内，是不是能解决所有问题呢？在实数范围内，负数不能开平方，要引入什么数才能解决这个矛盾呢？比如一元二次方程$x^2 = -1$，在实数范围内是什么情况？显然无解。那么，能否将实数集的范围扩充，使这个问题得到圆满解决？我们可以引入一个新数$i$，规定$i^2 = -1$，这样上述一元二次方程就有解了。现在我们引入这个数$i$，叫做虚数单位，规定$i^2 = -1$。
实数可以与$i$进行四则运算。在进行四则运算时，原有的加法与乘法运算律，包括交换律、结合律和分配律仍然成立。那么实数与$i$的四则运算怎么表示呢？把实数$a$与$i$相加，记为$a + i$。实数$b$与$i$相乘，即$b$乘以$i$，乘号可省略不写，规定$0$乘以$i$等于$0$。减法和除法是它们的逆运算，表示方法类似。把实数$a$与$bi$相加，记为$a + bi$。在这样的规定下，实数与$i$加乘的结果形式有什么统一之处呢？我们发现实数$a$与$i$相加，可表示成$a + bi$的形式，相当于$b = 1$；实数$b$与$i$相乘，也可表示成$a + bi$的形式。所以，我们把它们统一表示成$a + bi$的形式，其中$a \in R$，$b \in R$，这就是今天要介绍的复数的概念。
把形如$a + bi$（$a$，$b \in R$）的数叫做复数，通常用字母$z$表示，$z = a + bi$称为复数的代数形式。在代数形式中，$a$称为复数的实部，$b$称为复数的虚部，$i$称为虚数单位。全体复数构成的集合叫做复数集，用大写字母$C$表示。同学们能用集合的表示法表示出复数集$C$吗？
我们表示出的集合是这样的。同学们认识了复数，想知道复数和以前熟悉的实数有什么区别和联系吗？要知道这个问题，首先需要了解复数的分类以及满足的条件。对于复数$a + bi$，当虚部$b = 0$时，这个复数$a + bi = a$，表示实数；当$b \neq 0$时，这个复数称为虚数。简单说，一个复数是实数还是虚数，由它的虚部$b = 0$还是$b \neq 0$决定。在虚数中，如果实部$a = 0$，就称为纯虚数；当$a \neq 0$时，称为非纯虚数，也就是一般的虚数。同学们知道了复数的分类，能回答复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系吗？
这里我们用韦恩图直观展示一下。先画出最大的范围表示复数集。在复数集中，有一部分是实数集$R$，所以实数集$R$真包含于复数集$C$。在复数集里，剩下的部分表示虚数集，在虚数集内又有一部分是纯虚数集。同学们都分清楚了吗？下面请同学们观察下列各数：$6$，$-8 + 5i$，$-2i$，$\sqrt{2} + i$，$0$，$3 - 2i$，回答以下几个问题：
它们都是复数吗？
曾有同学说第一个数和第五个数不是复数，对吗？这里提醒大家，不要混淆复数与虚数的概念，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分。所以，以上这6个数都是复数。
哪些是虚数呢？
虚数要满足虚部$b \neq 0$。所以，这里第二个数、第三个数、第四个数和第六个数是虚数。
哪些是纯虚数呢？
纯虚数要满足实部等于$0$，并且虚部不等于$0$。所以，这里只有第三个数是纯虚数。
说出这些复数的实部和虚部。
第一个数$6$，实部等于$6$，虚部等于$0$；第二个数$-8 + 5i$，实部$-8$，虚部$5$；第三个数$-2i$，写成$a + bi$的形式为$0 + (-2)i$，实部是$0$，虚部是$-2$；第四个数$\sqrt{2} + i$，实部是$\sqrt{2}$，虚部是$1$；第五个数$0$，实部和虚部都是$0$；第六个数$3 - 2i$，实部是$3$，虚部是$-2$。同学们，都答对了吗？下面我们继续看例1，实数$m$取什么值时，复数$z = m + 1 + (m - 1)i$是实数、虚数、纯虚数？请同学们在稿纸上自己计算一下。
同学们都算出来了吗？要解决这三个小问，需要知道复数是怎么分类的，而复数的分类由实部和虚部决定。来看复数$z$，它的实部是$m + 1$，虚部是$m - 1$。
如果是实数，那么虚部等于$0$，即当$m - 1 = 0$，也就是$m = 1$时，复数$z$是实数。
什么时候是虚数呢？虚数要求虚部不等于$0$，即$m - 1 \neq 0$，也就是$m \neq 1$时，复数$z$是虚数。