师：同学们好，今天我们来学习高中数学，北京师范大学出版社高二年级选修2-2第五章“数系的扩充与复数的引入”小结与复习课。首先我们来看一下本章的知识结构。本章内容主要包括“数系的扩充与复数的引入”和“复数的四则运算”两大部分。第一部分又包含“数的概念的扩展”与“复数的有关概念”；第二部分则包括“复数的加法与减法”以及“复数的乘法与除法”。下面我们逐一展开复习。
首先回顾“复数的有关概念”。形如 a+bi（a、b∈R）的数叫做复数，其中实部为 a，虚部为 b。复数的分类：当 b=0 时为实数；当 b≠0 时为虚数；特别地，当 b≠0 且 a=0 时，称为纯虚数。
复数相等：a+bi = c+di 的充要条件是 a=c 且 b=d。注意：实数可以比较大小，但虚数不能比较大小。
共轭复数：a+bi 与 c+di 共轭的充要条件是 a=c 且 b=-d。注意：实数 a 的共轭复数就是它本身。
复平面的概念：建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。注意：虚轴上的点（除原点外）都表示纯虚数。
复数的模：设向量 OZ 对应的复数为 z=a+bi，则向量 OZ 的长度叫做复数 z 的模，记作 |z| 或 |a+bi|，计算公式为 |z| = √(a²+b²)。
复数的几何意义：复数 z=a+bi 与复平面内的点 Z(a,b) 一一对应，也与向量 OZ 一一对应。
接下来是“复数的四则运算”。设 z₁=a+bi，z₂=c+di（a,b,c,d∈R），则：
加法与减法：z₁ ± z₂ = (a±c) + (b±d)i；
乘法：z₁·z₂ = (ac-bd) + (bc+ad)i；
除法：z₁ ÷ z₂ = (ac+bd)/(c²+d²) + [(bc-ad)/(c²+d²)]i。
注意：复数的除法是重点，处理策略是“分母实数化”。同时，实数运算中的交换律、结合律、分配律同样适用于复数运算。
下面我们做几道判断题，请判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”。
第一题：方程 x² - x + 1 = 0 没有解。
生：错误。因为判别式 Δ<0，方程在实数范围内无解，但在复数范围内有复数解。
师：正确。第二题：复数 z=3-2i 中，虚部为 -2i。
生：错误。复数 z=3-2i 的实部是3，虚部是-2，虚部是一个实数，不是-2i。
师：很好。第三题：复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小。
生：错误。两个复数相等要求实部与虚部分别相等，但复数（尤其是虚数）本身不能比较大小，只有模长可以比较大小。
师：正确。第四题：若 a∈C（复数集），则 |a|² = a²。
生：错误。可以举反例：令 a=i，左边 |i|²=1，右边 i²=-1，左右不相等。
师：非常好。接下来我们看几个主要考点。
考点一：复数的概念。问题：实数 m 取什么值时，复数 z = m(m-1) + (m-1)i 是实数？是虚数？是纯虚数？
生：当 m-1=0，即 m=1 时，复数 z 是实数；当 m-1≠0，即 m≠1 时，复数 z 是虚数；当 m(m-1)=0 且 m-1≠0，即 m=0 时，复数 z 是纯虚数。
师：正确。再问：复数 z 何时等于 6+2i？
生：两复数相等需实部、虚部分别相等，即 m(m-1)=6 且 m-1=2，解得 m=3。
师：很好。考点二：复数的几何意义。第一小题：设复数 z₁、z₂ 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z₁=2+i，则 z₁·z₂ 等于？
生：关于虚轴对称，则实部互为相反数，虚部相等，所以 z₂ = -2+i，因此 z₁·z₂ = (2+i)(-2+i) = -4 + i² = -5。
师：正确。变式：如果关于实轴对称呢？
生：关于实轴对称，则实部相等，虚部互为相反数，所以 z₂=2-i，则 z₁·z₂ = (2+i)(2-i)=4 - i²=5。
师：很好。第二题是2019年高考全国一卷理科题：设复数 z 满足 |z-i|=1，z 在复平面内对应的点为(x,y)，则？
生：设 z=x+yi，由 |z-i|=1 得 |x+(y-1)i|=1，即 √[x²+(y-1)²]=1，平方得 x²+(y-1)²=1。所以选C。