师：同学们，大家好，欢迎走进今天的数学课堂。上节课，我们已经学习了余弦定理，并对其进行了简单应用。今天，我们将在此基础上，进一步探讨余弦定理及其其他应用。首先，我们简要回顾一下上节课的内容。
师：余弦定理，它的文字表述是什么？在三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦乘积的两倍。那能用符号语言表达吗？
生：a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，b2 = a2 + c2 - 2ac cos B，c2 = a2 + b2 - 2ab cos C 。
师：很好。同学们，能用学过的余弦定理推导三个内角余弦值的表达形式吗？从 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A 出发，将等式变形，得到 b2 + c2 - a2 = 2bc cos A ，再将等式两边同时除以 2bc ，便可得到 cos A = (b2 + c2 - a2) / (2bc) 。同理，从 b2 = a2 + c2 - 2ac cos B 可得出 cos B = (a2 + c2 - b2) / (2ac) ，从 c2 = a2 + b2 - 2ab cos C 能得出 cos C = (a2 + b2 - c2) / (2ab) 。
师：我们知道余弦定理解决的是已知两边及其夹角求第三边的问题，那这个变形能解决怎样的解三角形问题呢？观察式子右边都是三角形的边，也就是说，只要知道三角形三条边的长度，就能借助这个变形求出任何一个内角的余弦值，进而求出三角形的任意内角。
师：从这里出发，思考一个问题。在△ABC 中，若 a2 > b2 + c2 ，那么△ABC 是钝角三角形吗？若 a2 < b2 + c2 ，三角形是锐角三角形吗？大家想一想。
生：若 a2 > b2 + c2 ，可以推出 b2 + c2 - a2 < 0 ，利用余弦定理的变形，能推出 cos A < 0 ，在三角形内角中，可得出三角形是钝角三角形。
师：非常好。那第二个问题，若 a2 < b2 + c2 ，可以推出什么？
生：可以推出 cos A > 0 ，从而推出 A 大于 0°小于 90°，即 A 是锐角。
师：那△ABC 是锐角三角形吗？注意，从已知条件不能确定 A 是不是三角形的最大内角，仅能得到 A 是锐角，所以此时△ABC 不一定是锐角三角形。
师：从这个问题还能发现，如果已知三角形边与边之间的不等关系，能帮助我们判断角的类型。总结一下，在△ABC 中，c2 = a2 + b2 ，能推出角 C 是什么？
生：直角。
师：反过来，C 为直角，也能得到 c2 = a2 + b2 。这个结论和初中学习的勾股定理及其逆定理相同，可见，勾股定理可看成余弦定理的一种特殊情形。类似地，若 c2 > a2 + b2 ，可以推出角 C 是钝角，反之也成立；若 c2 < a2 + b2 ，可以推出角 C 是锐角，反之同样成立。
师：带着这些知识，来看这道题。在△ABC 中，已知 a = 7，b = 3，c = 5 ，求最大内角。条件直接告诉了三条边长，能判断出最大内角是哪个吗？
生：三角形中大边对大角，a 边最大，所以它所对的角 A 是最大内角。
师：非常好。那怎么求角 A 呢？
生：根据余弦定理的推论，cos A = (b2 + c2 - a2) / (2bc) ，代入数据计算可得 cos A = - 1 / 2 。
师：余弦值是 - 1 / 2 ，这个角是多少呢？
生：因为 A 大于 0°小于 180°，所以 A = 120° 。
师：已经知道如何利用三条边的长度求最大内角了，来看一个变式问题。在△ABC 中，a : b : c = 2 : √6 : (√3 + 1) ，求三角形各个角的大小。这个问题和前面不同，没给出三边具体长度，只给出比例关系，该怎么求解呢？
生：可以设 a = 2k，b = √6k，c = (√3 + 1)k ，k > 0 ，这样就转化为已知三边求三角的问题，用余弦定理求解。
师：很好。先求 cos A ，根据余弦定理，cos A = (b2 + c2 - a2) / (2bc) ，代入数据化简可得 cos A = √2 / 2 ，所以 A = 45° 。同样的方法，可求出 cos B = 1 / 2 ，进而得出 B = 60° 。那角 C 怎么求呢？
生：根据三角形内角和为 180°，用 180°减去角 A 和角 B ，即 C = 180° - 45° - 60° = 75° 。
师：在已知三角形三边具体长度，或三边数量关系时，都可利用余弦定理求出三角形任意内角。在解三角形问题中，三角形特征的判定也是重要类型。来看例一，在△ABC 中，若 a cos B = b cos A ，判断△ABC 的形状。a cos B = b cos A 反映了边和角三角函数的等量关系，无法直接看出特征，要对代数形式进行变形。等式中有两个角的余弦，能否把它们用边的表达式体现出来呢？
师：根据余弦定理的变形，a cos B = b cos A 等价于 a × (a2 + c2 - b2) / (2ac) = b × (b2 + c2 - a2) / (2bc) 。化简这个式子，左边 a 和分母 a 约掉，右边 b 和分母 b 约掉，此时两个分式分母都是 2c ，再约掉 2c ，进一步化简变形可推出 a2 = b2 ，即 a = b ，这说明三角形有两条边相等，所以△ABC 是等腰三角形。
师：再想一想，还有其他方法吗？刚刚是把三角函数化成边的形式，能否把边化成角的形式呢？
生：根据正弦定理，设△ABC 外接圆半径是 r ，则 a = 2r sin A ，b = 2r sin B 。代入条件可得 2r sin A cos B = 2r sin B cos A ，约掉 r ，化简为 sin A cos B = sin B cos A 。
师：从这里怎么看出三角形特征呢？可以变形，比如把式子移到一边，利用三角恒等变换进一步变形；或者因为 cos A、cos B 显然不为 0 ，在等式两边同时除以 cos A cos B ，式子就变成角的正切。无论哪种方式，都可推出 sin(A - B) = 0 或者 tan A = tan B 。在△ABC 中，可得出角 A = 角 B ，也是等腰三角形。
师：对比两种解法，第一种是把条件中的边化成角的正弦，通过三角恒等变换推出角的关系来判断形状。明白了吗？来看这样一个变式，在△ABC 中，若 a2 tan B = b2 tan A ，判断三角形的形状。条件中出现正切值，正余弦定理中没有，该怎么变形呢？
生：可以把两个正切值利用同角关系化为正弦和余弦的比值。
师：很好。变形后式子还能化简吗？根据正弦定理，a sin B = b sin A ，把等式左边 a sin B 和右边 b sin A 同时约掉，再化为整式，得到 a cos A = b cos B 。从这里还不足以得出三角形形状特征，继续变形。借助前面分析，利用正弦定理推论，将边化成对应角的正弦，可得 2r sin A cos A = 2r sin B cos B ，约掉 r ，得到 sin 2A = sin 2B 。这时能推出什么结论呢？
生：可能有 2A = 2B ，还有可能 2A = π - 2B 。
师：非常好。从这里可推出角 A = 角 B 或者 A + B = π / 2 。角 A = 角 B 是等腰三角形，A + B = π / 2 呢？
生：直角三角形。
师：结论该怎么回答？注意连接词是“或”，表明两种关系都可能存在，所以结论应回答是等腰三角形或者直角三角形。这里要提醒，根据 sin 2A = sin 2B 反推角关系时，不要忽略两角互补的关系。
师：这个过程是把边化成角，能否借助余弦定理判定呢？可以在 cos A、cos B 处使用余弦定理代换，把正余弦值全部化为边，通过代数变形推出边的数量关系，也能判定形状，这个过程同学们课后完成。
师：总结一下三角形形状判定问题的解题思路。主要围绕三角形边角关系思考，一种方法是利用正弦和余弦定理将已知条件转化为边与边的关系，通过因式分解、配方等得出边的关系，从而判断形状，简称为“化角为边”；另一种是利用正余弦定理将已知条件转化为角与角的关系，通过三角变换得出内角联系，判断形状，简称为“化边为角”。也就是边化角或者角化边后，再通过代数变形判断形状。
师：学习到这里，总结一下这节课内容。第一个，余弦定理及其变形的结论是什么？要熟记公式，这是应用的前提。今天解决了哪些三角形问题，又是怎么求解的呢？
生：解决了两种问题，一是已知三边或三边关系，求任意内角，用余弦定理的推论；二是通过边角互化进行形状判定。
师：好，这里有几个练习供同学们课后跟踪检测，答案分别是 C、B、等腰三角形。好，感谢同学们的收看，再见。